Skozi grede > Ropotarnica

Srednješolske enačbe

Relativna števila – Funkcije in grafi – Posebne funkcije – Diferenciali – Integrali – Gibanje – Sile in gibanje – Deformacije – Valovanje – Toplota – Molekule – Elektrika – E & M polje – Svetlobni valovi

Relativna števila

Relativna števila

0, ±0,5, ±0,67, ±3,143 …

p| = p

Računska pravila

p) + (+q) = (±p) + q
p) + (−q) = (±p) − q
p) − (+q) = (±p) − q
p) − (−q) = (±p) + q
(+p)(+q) = +pq
(+p)(−q) = −pq
(−p)(−q) = +pq

Skalarna potenca

pn =

1

pn

pm / n = npm
pm/n =

1

pm/n

Logaritem

bL = NL = logb N

Računska pravila

log pq = log p + log q
log

p

q

= log p − log q
log pa = a log p

Desetiški logaritem

lg p = log10 p

Funkcije in grafi

Sorazmernost

u = ax

Obratna sorazmernost

u =

a

x

Potenčna funkcija

u = axn

Linearna funkcija

u = ax + b

Kvadratna funkcija

u = ax2 + bx + c
x1,2 =

b ± √(b2 − 4ac)

2a

Posebne funkcije

Geometrijska vrsta

G = 1 + x + x2 + x3 + …
G =

1

1 − x

, |x| < 1

Binomski obrazec

B = (1 + x)n =
1 +

n

1

x +

n(n − 1)

1 · 2

x2 +

n(n − 1)(n − 2)

1 · 2 · 3

x3 + … + xn

Binomska vrsta

B = (1 + x)s =
1 +

s

1

x +

s(s − 1)

1 · 2

x2 +

s(s − 1)(s − 2)

1 · 2 · 3

x3 + … ; |x| < 1

Potenčna vrsta

u = a0 + a1x + a2x2 + a3x3
|u| < ∞ ⟺

 

lim

n → ∞

|

an+1

an

x| < 1

Eksponentna funkcija

exp (x) = 1 +

x

1!

+

x2

2!

+

x3

3!

+ …
ex = exp (x),    e = 2,72

Logaritemska funkcija

u = ex ⟺ loge u = x

Naravni in desetiški logaritem

ln u = loge u
lg u =

ln u

ln 10

,    ln 10 = 2,30
10x = ex ln 10

Kotne funkcije

y

r

= sin φ

x

r

= cos φ

y

x

= tan φ

Polovični in dvojni kot

(cos A)2 = 1/2 (1 + cos 2A)
sin A cos A = 1/2 sin 2A

Vsota in razlika kotov

sin (A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B
cos (A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin B

Sinusoida

u = A sin (kx + δ) = a sin kx + b cos kx
a = A cos δ
b = A sin δ

Obratne kotne funkcije

sin x = ux = asin u
cos x = ux = acos u
tan x = ux = atan u

Diferenciali

Odvod

u' =

 

lim

dx→0

u(x + dx) − u(x)

dx

Diferencial

du = u' · dx

du

dx

= u'

d

dx

(

du

dx

) =

d2u

dx2

= u"

Odvodi osnovnih funkcij

d

dx

c = 0

d

dx

xn = nxn − 1

d

dx

xs = sxs − 1

d

dx

ex = ex

d

dx

sin x = cos x

d

dx

cos x = −sin x

Odvod obratne funkcije

du

dx

·

dx

du

= 1

d

dx

ln x =

1

x

d

dx

asin x = +

1

√(1 − x2)

d

dx

acos x = −

1

√(1 − x2)

Odvod sestavljene funkcije

d

dx

(cu) = c

du

dx

d

dx

(u ± v) =

du

dx

±

dv

dx

d

dx

(uv) =

du

dx

· v + u ·

dv

dx

d

dx

(

u

v

) =

du/dx · vu · dv/dx

v2

d

dx

u(v) =

du

dv

·

dv

dx

Razvoj v potenčno vrsto

u(x) = u(0) +

u'(0)

1!

x +

u"(0)

2!

x2 + …
u(a + h) = u(a) +

u'(a)

1!

h +

u"(a)

2!

h2 + …

Razvoj osnovnih funkcij

ln(1 + x) = x

x2

2

+

x3

3

− … ; |x| < 1
ln

1 + x

1 − x

= 2 (x +

x3

3

+

x5

5

+ …) ; |x| < 1
sin x = x

x3

3!

+

x5

5!

− …
cos x = 1 −

x2

2!

+

x4

4!

− …

Maksimum in minimum

u = max ⟺ u' = 0 in u" < 0
u = min ⟺ u' = 0 in u" > 0

Integrali

Integral

Δ u =

 

lim

du→0

du = du
du =

b

a

u'dx = u(b) − u(a)
u' dx = u(x) + C

Integrali osnovnih funkcij

c dx = cx
xs dx =

xs + 1

s + 1

; s ≠ −1

1

x

dx = ln x
ex dx = ex
sin x dx = −cos x
cos x dx = sin x

Pravila integriranja

b

a

u dx = −

a

b

u dx

b

a

u dx +

c

b

u dx =

c

a

u dx
cu dx = c u dx
(u ± v) dx = u dx ± v dx
u' v dx = uv uv' dx
u(x) dx = u[v(x)] dv

Ploščina pod krivuljo

S = z dx

Prostornina rotacijskega telesa

V = π z2 dx

Gibanje

Premo enakomerno gibanje

v =

s

t

s = vt

Premo neenakomerno gibanje

v =

ds

dt

a =

dv

dt

=

d2s

dt2

s = v dt
v = a dt

Prosti pad

v = gt,    g = 9,8 m/s2
s =

gt2

2

v2 = 2gs

Gibanje v ravnini

vx =

dx

dt

vz =

dz

dt

v2 = vx2 + vz2
ax =

dvx

dt

=

d2x

dt2

az =

dvz

dt

=

d2z

dt2

a2 = ax2 + az2

Poševni met

vx = vx0
vz = vz0gt
x = vx0t
z = vz0t

gt2

2

Nihanje obešene kroglice

t0 = 2π

l

g

x = x0 cos ωt,     ω =

t0

= 2πν

Kroženje obešene kroglice

x = r cos ωt
y = r sin ωt
v = ωr
ar = ω2r =

v2

r

Orbitiranje planetov

(

t

t0

)2 = (

r

r0

)3

Sile in gibanje

Težni zakon

Fg = mg

Gostota

ρ =

m

V

σ = ρg

Gibalni zakon

F = ma = m

dv

dt

Fx = m

dvx

dt

Fz = m

dvz

dt

Vrteči se sistem

F = mω2r
F = 2mωv

Izrek o kinetični energiji

Fds =

mv22

2

mv12

2

= Δ K

Izrek o mehanski energiji

Fother∥ds = ΔK + ΔW

Težna energija

W = mgh

Splošni težni zakon

Fg = κ

mM

r2

,     κ ∼ 10−11 Nm2/kg2

Težno polje okrog delca

g = κ

M

r2

Težna energija dveh delcev

W = −κ

mM

r

Orbitalni zakon

t2

r3

=

2

κM

Deformacije

Vzmet

F = ks
W =

1

2

ks2

Spiralna vzmet

M = Dφ
W =

1

2

Dφ2

Nateg trdnine

F

S

= E

Δl

l

Strig trdnine

F

S

= Gα

Stiskanje tekočine

Δp = K

ΔV

V

Izotermni plinski zakon

pV = p0V0

Strig tekočine

F

S

= η

Δv

l

Turbulentni količnik

R =

lvρ

η

Masni in volumski tok

Φm =

dm

dt

ΦV =

dV

dt

Φm = ρΦV

Viskozni tok po cevi

ΦV =

π

8

r4

η

Δp

l

Viskozni upor kroglice

F = 6πηrv

Enačba tokovnice

p + ρgh +

ρv2

2

= const

Dinamični upor telesa

F =

1

2

cρSv2

Površinska napetost

F

l

= γ

Tlak v kapljici

Δp =

2γ

r

Valovanje

Val na vrvi

s = f(xct)
c2 =

F

μ

Potujoč harmonični val

s = s0 cos k(xct) = s0 cos (kxωt)
k =

λ

ω = 2πν
c = λν =

ω

k

Stoječ harmonični val

s = 2s0 cos kx cos ωt

Valovi v globoki vodi

c2 =

gλ

=

g

k

Valovi v plitvi vodi

c2 = gH

Odbojni zakon

αr = αi

Lomni zakon

sin αi

sin αt

=

ci

ct

Uklon na dveh režah

d sin α = Nλ,     N = 0, 1, 2 …

Zvočni valovi

c2 =

K

ρ

Bližanje oddajnika

ν'

ν

= 1 +

v

c

Bližanje k oddajniku

ν'

ν

=

1

1 − v/c

Valovno čelo

sin θ =

c

v

Gostota energije

w =

W

V

Za harmonično komponento

w =

1

2

ρv02 =

1

2

ρω2s02

Energijski tok

P =

W

t

Gostota toka

j =

P

S

j = cw

Točkast izvor

j =

P/Ω

r2

=

I

r2

Toplota

Temperatura

T

Izohorni plinski zakon

T

T0

=

p

p0

Temperaturno raztezanje teles

dl

l

= α dT

dV

V

= β dT
β = 3α

Plinska enačba stanja

pV = mRT

Zakon o meh. segrevanju

cmΔT = Fgh

Notranja energija snovi

ΔU = cmΔT

Energijski zakon

ΔU = A + Q

Toplotni stik snovi

c1m1ΔT1 = c2m2ΔT2

Raztezno delo plina

Aexp = −∫ pdV

ΔU = Aother + Aexp + Q

Segrevanje plina pri stalni prostornini

ΔU = Q = mcVΔT

Segrevanje plina pri stalnem tlaku

ΔU + pΔV = Q = mcpΔT

cpcV = R

Adiabatno stiskanje in raztezanje plina

TV κ − 1 = const
κ =

cp

cV

Taljenje

Q = qtm

Izparevanje

Q = qim

Sežiganje

Q = qsm

Nasičeni parni tlak nad tekočino

ps = p0 exp

qi

R

(

1

T0

1

T

)

Vlažni zrak

f =

ρv

ρvs

=

pv

pvs

r =

ρv

ρ

=

R

Rv

pv

p

Toplotni tok

P =

Q

t

Gostota toka

j =

P

S

Zakon o prevajanju toplote

j = λ

ΔT

l

Molekule

Molekulska masa

m1

Atomska masna enota

m1 = μu

Kilomolsko število

NA · u = 1 kg,    NA ∼ 1027,    u ∼ 10−27 kg

Kilomolska masa snovi

M = NAμu = μ · 1 kg

Splošna plinska konstanta

R =

R*

M

,    R* = 8300 J/K
pV = nR*T,    n =

m

M

Elektrika

Električni naboj

e

Električni tok

I =

e

t

Gostota toka

j =

I

S

Elektrolizni zakon

m

e

=

1

F

M

Z

,    F = 96 · 106 C

Osnovni naboj

F = NAe0,    e0 ∼ 10−19 C

Zakon o el. segravanju

mcVΔTItA

Delo in gonilna napetost

A = Uge

Zaporedna vezava

Ug = Ug1 + Ug2

Padci napetosti

Ug = Uk

Električna moč

P = UI

Zakon o el. uporu

U = RI

Specifični upor

R = ξ

l

S

Specifična prevodnost

σ =

1

ξ

Zaporedna vezava

R = R1 + R2

Vzporedna vezava

1

R

=

1

R1

+

1

R2

Trošena moč v uporniku

P = RI2 = U2/R

Notranji upor člena

Ug = (RN + R)I

E & M polje

El. sila in el. polje

Fe = eE

Polje v kondenzatorju

E =

U

l

e

S

= ε0

U

l

,    ε0 = 8,85 · 10−12 As/Vm

Kapaciteta kondenzatorja

e = CU
C = ε0

S

l

Snov v kondenzatorju

Cfilled = εC

Mag. sila in mag. polje

Fm = BIl

Mag. navor na zanko

Mm = BIS

Kinematična indukcija napetosti

Ui = B

dS

dt

Dinamična indukcija napetosti

Ui = S

dB

dt

Indukcijski zakon

Ui =

d

dt

(BS)

Polje v tuljavi

B = μ0

NI

l

,    μ0 = 1,26 · 10−6 Vs/Am

Induktivnost tuljave

Ui = L

dI

dt

L = μ0N2

S

l

Generator izmenične napetosti

U = U0 sin ωt
U0 = NBSω

Transformator

U1

U2

=

N1

N2

U1I1 = U2I2

Efektivna napetost in tok

P⟩ = RIef2 =

Uef2

R

Ief =

I0

√2

Uef =

U0

√2

Upor upornika

Uef = RIef

Upor kondenzatorja

Uef =

1

Cω

Ief

Upor tuljave

Uef = Lω Ief

Energija el. polja v kondenzatorju

W =

1

2

CU2

Energija mag. polja v tuljavi

W =

1

2

LI2

Gostota energije

w =

W

V

Gostota energije el. polja

w =

1

2

ε0E2

Gostota energije mag. polja

w =

1

2μ0

B2

Nihajni krog

ω2 =

1

LC

Svetlobni valovi

Svetlobni tok

P =

Q

t

Gostota svetlobnega toka

j =

P

S

Osvetljenost ploskve

j' = j cos α

Točkast izotropni izvor

j =

P

r2

Njegova svetilnost

I =

dP

dΩ

j =

I

r2

Svetlost razsežnega izvora

B =

dI

dS

Njegova gostota izseva

j* =

dP

dS

Sevanje črnega telesa

j* = σT4,    σ = 5,67 · 10−8 W/m2K4

Njegov maksimum

λmax =

b

T

,    b = 2,9 · 10−3 Km

Njegov spekter

dj*

dλ

=

c1

λ5

1

exp (c2/λT) − 1

c1 = 3,74 · 10−16 Wm2
c2 = 1,44 · 10−2 Km

Odbojnost

j* = a j'

Absorpcija

j = j0 exp (−μl)

Relativna magnituda zvezd

m1m2 = −2,5 lg

j1

j2

m = −2,5 lg

j

j0

,    j0 = 2,5 · 10−8 W/m2