Skozi grede > Ropotarnica

Visokošolske enačbe

Kompleksna števila – Vektorji in matrike – Večkratne funkcije – Krivulje in ploskve – Prostorska polja – Statistika – Dinamika – Relativnost – Termokinetika – Statična E & M polja – Elektromagnetni valovi – Elektroni in ioni – Kvantni delci – Valovna mehanika – Molekule, kristali, plini – Atomska jedra – Zvezde in vesolje

Kompleksna števila

Fazorji

= (u1, u2) = (u cos φ, u sin φ)
u = √(u12 + u22) = ||
φ = atan

u2

u1

= Arg ()
Re () = u1
Im () = u2

Računska pravila

c = (cu1, cu2)
+ = (u1 + v1, u2 + v2)
= uv (cos (α + β), sin (α + β))
/ = (u / v) (cos (αβ), sin (αβ))
= (u1v1u2v2, u1v2 + u2v1)
/ = (u1v1 + u2v2, u2v1u1v2)

Imaginarna enota

= u1 · (1, 0) + u2 · (0,1)
= u1 + iu2
i = (0, 1)
i · i = i2 = −1

Konjugirani fazorji

* = u1 − iu2
||2 = *

Potenca in eksponencial

n = ·
n = un (cos nφ +i sin nφ)
s = us (cos sφ + i sin sφ)
eiφ = cos φ + i sin φ
e = eu1 + iu2 = eu1 eiu2 = eu1 (cos u2 + i sin u2)

Kompleksne kotne funkcije

cos φ =

eiφ + e−iφ

2

sin φ =

eiφ − e−iφ

2i

cos =

ei + e−i

2

sin =

ei − e−i

2i

Kompleksne funkcije skalarja

(t) = u1(t) + iu2(t)

Diferencial in integral

d

dt

=

du1

dt

+ i

du2

dt

û dt = u1 dt + i u2 dt

Harmonične vrste

f(t) = a0 +

n=1

(ancos nωt + bnsin nωt)
a0 =

1

T

T

0

f(t) dt
an =

2

T

T

0

f(t) cos nωt dt,    n = 1, 2, 3 …
bn =

2

T

T

0

f(t) sin nωt dt,    n = 1, 2, 3 …

1

T

T

0

f(t)2 dt = a02 +

1

2

n = 1

(an2 + bn2)

Kompleksne harmonične vrste

f(t) = Re

n=−∞

n einωt
n =

1

T

T

0

f(t) e−inωt dt,    n = 0, ± 1, ±2 …

1

T

T

0

f(t)2 dt =

n = −∞

|n|2

Harmonični integrali

f(t) = Re

−∞

(ω) eiωt dω
(ω) =

1

−∞

f(t) e−iωt dt

1

−∞

f(t)2 dt =

−∞

|(ω)|2 dω

Vektorji in matrike

Vektor premika

r = (x, y, z)
r2 = x2 + y2 + z2

Zasuk koordinatnega sistema okoli osi z

x' = +x cos φ + y sin φ
y' = −x sin φ + y cos φ
z' = z

x'2 + y'2 + z'2 = x2 + y2 + z2

Razteg in vsota

λu = (λu1, λu2, λu3)
u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3)

Enotni vektorji

e1 = (1, 0, 0)
e2 = (0, 1, 0)
e3 = (0, 0, 1)
u = u1e1 + u2e2 + u3e3 = ∑ uiei

Skalarni produkt

u · v = uv cos φ
u · v = u1v1 + u2v2 + u3v3
u · u = u12 + u22 + u32 = u2

Vektorski produkt

u × v = uv sin φ · n
u × v = (u2v3u3v2, u3v1u1v3, u1v2u2v1)

Sorazmernost vektorjev

u1 = A11x1 + A12x2 + A13x3
u2 = A21x1 + A22x2 + A23x3
u3 = A31x1 + A32x2 + A33x3

ui = ∑j Aijxj

Sorazmernostna matrika

u1

u2

u3

=

A11

A21

A31

A12

A22

A32

A13

A23

A33

·

x1

x2

x3

u = A · x

Posebne matrike

I =

1

0

0

0

1

0

0

0

1

D =

λ1

0

0

0

λ2

0

0

0

λ3

R3 =

cos φ

−sin φ

0

sin φ

cos φ

0

0

0

1

Računske operacije

λA = BBij = λAij
A + B = CCij = Aij + Bij
A · B = CCij = ∑k AikBkj

Inverzna matrika

A · x = ux = A−1 · u
A−1 · A = I

[Iij]−1 = diag (1, 1, 1)
[Dij]−1 = diag (1/λ1, 1/λ2, 1/λ3)
[Rij]−1 = [Rji]

Nje izračun

[A | I] → [I | A−1]

Večkratne funkcije

Vektorska funkcija skalarja

u(t) = [u1(t), u2(t), u3(t)]

Diferencial in integral

u' =

 

lim

dt→0

u(t + dt) − u(t)

dt

u' = (u1', u2', u3')
du = u' · dt
du = (du1, du2, du3)

u(t) = u(0) +

u'(0)

1!

t +

u"(0)

2!

t2 + …

u(t0 + h) = u(t0) +

u'(t0)

1!

h +

u"(t0)

2!

h2 + …

u = u' dt = ( u1' dt, u2' dt , u3' dt)

Skalarna funkcija več spremenljivk

u = u(x, y)

Parcialni odvodi

ux =

 

lim

dx→0

u(x + dx, y) − u(x, y)

dx

Totalni diferencial

du = dxu + dyu = ux dx + uy dy

dxu

dx

=

u

x

= ux

Verižna odvajanja

du

dt

=

u

x

dx

dt

+

u

y

dy

dt

u

t

=

u

x

x

t

+

u

y

y

t

Implicitno odvajanje

F(x,y,u) = 0 ⟹ Fx + Fu

u

x

= 0

Razvoj v potenčno vrsto

u(x, y) = u(0, 0) +
xux + yuy +

1

2

(x2uxx + 2xyuxy + y2uyy) + …

u(a+h,b+k) = u(a,b) +

1

1!

(h

x

+ k

y

)u +

1

2!

(h

x

+ k

y

)2u + …

Ekstremi

u = max ⟺ uxx < 0 in uxxuyyuxy2 > 0
u = min ⟺ uxx > 0 in uxxuyyuxy2 > 0

Vezani ekstremi

φ(x, y) = 0
ux + λφx = 0
uy + λφy = 0

Ploščinski integrali

U = u dS
U = u dx dy =

d

c

dy

b

a

u dx =

b

a

dx

d

c

u dy
U = uρ dρ dφ

Prostorninski integrali

U = u dV.
U = u dx dy dz
U = u ρ dρ dφ dz
U = u r2 sin θ dr dφ dθ

Krivulje in ploskve

Razdalja med točkama

s2 = (x2x1)2 + (y2y1)2 + (z2z1)2

Premica

y = kx

x = At
y = Bt

Krožnica

x2 + y2 = r2

x = r cos t
y = r sin t

Elipsa

x2

a2

+

y2

b2

= 1

x = a cos t
y = b sin t

Hiperbola

x2

a2

y2

b2

= 1

x = a / cos t
y = b tan t

Parabola

2py = x2

x = At
y = Bt2

Vektorski opis krivulje

r(t) = (x(t), y(t))

dy

dx

=

y'

x'

d2y

dx2

=

x'y" − y'x"

x'3

Dolžina krivulje

ds = |dr| = |r'| dt = √(x'2 + y'2) dt
s = √(x'2 + y'2) dt

Tangenta

τ =

dr

ds

τ =

(x', y')

√(x'2 + y'2)

Ukrivljenost

K = |

dτ

ds

|
K =

x'y" − y'x"

(x'2 + y'2)3/2

K =

1

R

Ravnina

z = k1x + k2y

Krogla

x2 + y2 = r2

x = R sin θ cos φ
y = R sin θ sin φ
z = R cos θ

Vektorski opis ploskve

r(u, v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))

Dolžina krivulje na ploskvi

ds2 = ru2du2 + 2rurvdudv + rv2dv2 =
g11du2 + 2g12dudv + g22dv2

g11 = xu2 + yu2 + zu2
g12 = xuxv + yuyv + zuzv
g22 = xv2 + yv2 + zv2

s = √(g11u'2 + 2g12u'v' + g22v'2)dt

Ploščina ploskve

dS = dus dvs sin α = √(g11g22g122)dudv
S = √(g11g22g122) dudv
S = √(1 + zx2 + zy2) dxdy

Normala

n =

ru × rv

|ru × rv |

=

ru × rv

√(g11g22g122)

n =

(−zx, −zy, 1)

√(1 + zx2 + zy2)

Lok na krogli

cos α = cos θ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2 cos (φ2φ1)

Hipotenuzni izrek

cos d = cos a cos h

Kosinusni izrek

cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A

Sinusni izrek

sin A

sin a

=

sin B

sin b

=

sin C

sin c

Prostorska polja

Skalarno in vektorsko polje

U = U(x, y, z)
v = (vx(x, y, z), vy(x, y, z), vz(x, y, z))

Gradient polja

grad U = n ·

dU

ds

grad U = (

U

x

,

U

y

,

U

z

) = (

x

,

y

,

z

)U = U
dU = U · dr = (dr · )U
U2U1 = U ds

Pretok in divergenca

Φ = v · n dS
v · n dS = vx dy dz + vy dz dx + vz dx dy
div v =

 

lim

V →0

1

V

v · n dS
div v =

vx

x

+

vy

y

+

vz

z

= · v
v · n dS = · v dV

Cirkulacija in rotor

Γ = v ds
v ds = vx dx + vy dy + vz dz
rot v = n ·

 

lim

S →0

1

S

v ds
rot v= (

vz

y

vy

z

,

vx

z

vz

x

,

vy

x

vx

y

) = × v
v ds = ( × v) · n dS

Operacije drugega reda

· (U) = 2U =

2U

x2

+

2U

y2

+

2U

z2

× (U) = 0
· ( × v) = 0
× ( × v) = ( · v) − 2v

Statistika

Število permutacij

Pn = n!

Število variacij

Vnr =

n!

(nr)!

Število kombinacij

Cnr =

n!

r! (nr)!

Verjetnost izidov

Pk =

lim

N → ∞

Nk

N

Pk = 1

Gostota verjetnosti

dP

dx

=

lim

N → ∞

dN(x ± dx/2)

N

= p(x)

dP = p(x) dx = 1

Verjetnost izida A ali B

P(AB) = P(A) + P(B)

Verjetnost izida A in B

P(AB) = P(A) · P(B)

Binomska porazdelitev

P(n) =

N!

n!(Nn)!

pn (1 − p)Nn = BN,p(n)

Normalna porazdelitev

dP

dx

=

1

σ√2π

· e(xμ)2/2σ2 = Gμ,σ(x)

Prehod na novo spremenljivko

dP

dz

=

dP

dx

dx

dz

Povprečje

x⟩ = x p(x) dx

Varianca

σx2 = (x − ⟨x⟩)2 p(x) dx
σx2 = ∫ x2 p(x) dx − (∫ x p(x) dx)2 = ⟨x2⟩ − ⟨x2

Porazdelitev po več spremenljivkah

d2P

dx dy

=

lim

N → ∞

dN(x ± dx/2, y ± dy/2)

N

= p(x, y)

Kumulativna verjetnost

dP

dx

= p(x, y) dy = u(x)

Neodvisni spremenljivki

p(x, y) = u(x) v(y)

Povprečje in varianca

x⟩ = x p(x, y) dx dy
σx2 = (x − ⟨x⟩)2 p(x, y) dx dy

Kovarianca

σxy = (x − ⟨x⟩)(y − ⟨y⟩) p(x,y) dx dy

Korelacijski koeficient

r =

σxy

σxσy

Povprečje povprečij

⟩ = ⟨x

Varianca povprečij

σ2 =

σx2

N

Ocena natančnosti meritev

x⟩ ≈ ±

sx

N

Širjenje napak

u = cx ⟹ du = |c| dx
u = x ± y ⟹ du = dx + dy
u = xy

du

|u|

=

dx

|x|

+

dy

|y|

u =

x

y

du

|u|

=

dx

|x|

+

dy

|y|

u = xn

du

|u|

= |n|

dx

|x|

u = u(x) ⟹ du = |u'| dx
u = u(x, y) ⟹ du2 = (ux dx)2 + (uy dy)2

Dinamika

Lega

r = (x, y, z)

Premik

dr = ds = (dx, dy, dz)

Hitrost

v =

ds

dt

= (vx, vy, vz)

Pospešek

a =

dv

dt

= (ax, ay, az)

Kotni zasuk

dφ = er ×

ds

r

Kotna hitrost

ω =

dφ

dt

Kotni pospešek

α =

dω

dt

Dolžinske in kotne povezave

v = ω × r
at = α × r
ar = −ω2r
a2 = at2 + ar2

Gibalni zakon za delec

F = m

dv

dt

= m

d2r

dt2

Izrek o kinetični energiji

F · ds =

mv22

2

mv12

2

Gibalni zakon za sistem delcev

F = m

d2r*

dt2

Lega težišča

r* =

1

m

mi ri

Hitrost težišča

v* =

dr*

dt

Gibalna količina sistema

G = mi vi = mv*

Izrek o gibalni količini

F dt = ΔG

Sila curka

F = Φmv

Raketna enačba

vv0 = u ln

m0

m

Vrtilna količina

L = ∑ ri × mivi

Izrek o vrtilni količini

M dt = Δ L

L = r* × mv* + L*

Kinetična energija

K =

1

2

mivi2

Izrek o kinetični energiji

Aext + Aint = ΔK

K =

1

2

mv*2 + K*

Vrtenje togega sistema

L = Jω
J = mi ri2

M =

dJω

dt

= J

dω

dt

K =

1

2

J ω2

J = J* + mr*2
L = L* + mr*2ω
K = K* +

1

2

mr*2ω2

Težno nihanje telesa

ω02 =

mgl

ml2 + J*

Sučno nihanje telesa

ω02 =

D

J*

Prosto nihanje

u" + ω02 u = 0

u = c1 cos ω0t + c2 sin ω0t

Vzbujeno nihanje

u" + ω02 u = A cos (ωt + δ)

u = u0 cos (ωt + δ)
u0 =

A

√(ω02ω2)

Vzbujeno nihanje z dušenjem

u" + γu' + ω0u = A cos (ωt + δ)

u = u0 cos (ωt + δ + θ)

u0 =

A

√[(ω2ω02)2 + γ2 ω2]

tan θ =

γω

ω02ω2

Dušeno nihanje

u" + γu' + ω02u = 0

u = u0 eγt/2 cos (ωt + δ)
ω = √(ω02γ2), γ < ω0

Gravitacijsko polje

Fg = mg

Polje okrog masne točke

gP = −κ

mQ

rPQ2

nPQ,    κ = 6,7 · 10−11 Nm2/kg2

Superpozicija polj

gP = −

 

Q

κ

mQ

rPQ2

nPQ

Gravitacijska energija

WW0 = − mg · ds

Gravitacijski potencial

ϕϕ0 = − g · ds

Potencial masne točke

ϕP = − κ

mQ

rQP

Superpozicija potencialov

ϕP = −

 

Q

κ

mQ

rQP

Gibanje planeta

L = mr2φ'

E =

m

2

(r'2 + r2φ'2) −

α

r

r =

p

1 + ε cos φ

p =

L2

mα

ε2 = 1 +

2EL2

mα2

T2

a3

=

2

κM

Relativnost

Stalnost svetl. hitrosti

c' = c

Relativistični faktor

γ =

1

√(1 − u2/c2)

Transformacija koordinat

t' = γ(tux / c2)
x' = γ(xut)
y' = y
z' = z

Transformacija intervalov

Δ t = tBtA
Δ x = xBxA

Δt' = γtuΔx/c2)
Δx' = γxuΔt)

Podaljšanje časa

Δt = γΔt0

Skrajšanje dolžin

Δl = Δl0 / γ

Transformacija hitrosti

v =

xBxA

tBtA

vx' =

vxu

1 − vxu / c2

vy' =

1

γ

vy

1 − vxu/c2

vz' =

1

γ

vz

1 − vxu/c2

Frekvenčni zamik svetlobe

ν'

ν

=

√(1 − u/c)

√(1 + u/c)

Sprememba valovne dolžine

λ'

λ

=

√(1 + u/c)

√(1 − u/c)

Približek za majhne hitrosti

Δλ

λ

=

u

c

Gibalna količina

G = mγ(v)v

Gibalni zakon

dG

dt

= F

Polna energija

E = γ(v) mc2

Kinetična in masna energija

E = K + mc2
K = (γ(v) − 1)mc2

Energijska invarianta

E2 − (cG)2 = (mc2)2

Transformacija G in E

Gx' = γ(GxuE/c2)

E' = γ(EuGx)

ΔGx' = γ(ΔGxuΔE/c2)
ΔE' = γEuΔGx)

Gibalna količina svetlobe

G =

E

c

Gostota gibalne količine

g =

G

V

g =

j

c2

Svetlobni tlak

p = gc

p = (1 + R) gc

Termokinetika

Številska gostota molekul

n =

N

V

Plinski zakon

p = nkT,    k =

R*

NA

Kinetični model tlaka

p =

1

3

nm1v2

Kinetični model temperature

1

2

m1v2⟩ =

3

2

kT

Porazdelitev molekul po višini

dP

dz

= Aem1gz / kT,    A =

m1g

kT

Porazdelitev molekul po hitrosti

dP

dvx

= A em1vx2/2kT

dP

dv

= A3v2em1v2 / 2kT,    A = (

m1

kT

)1/2

Porazdelitev molekul po energiji

Pi =

1

Z

eEi/kT,    Z = ∑ eEi/kT

dP =

1

Z

eE/kT dE,    Z = eE/kTdE

Porazdelitev po faznem prostoru

dP =

1

Z

eE(r,v)/kT d3rd3v,    Z = eE(r,v)/kT d3rd3v

Notranja energija plina

U = N

f

2

kT

Toplotna kapaciteta plina

CV =

U

T

= N

f

2

k

Specifične toplote plina

cV =

CV

Nm1

=

f

2

k

m1

=

f

2

R*

M

cp = cV +

R*

M

= (

f

2

+ 1)

R*

M

κ =

cp

cV

= 1 +

2

f

Kristalna snov

U = 3NkT
cV = 3

R*

M

Izhlapevanje tekočine

nv =

1

V0

eW / kT

Ionizacija plina

neni

na

=

1

V0

eW / kT

Prosta pot molekul

l⟩ =

1

π(2r)2n

Difuzivnost

jm = −D

dρ

dx

,    D =

1

3

v⟩⟨l

Toplotna prevodnost

jQ = −λ

dT

dx

,    λ =

1

6

v⟩⟨lnfk

Viskoznost

η =

1

3

v⟩⟨lnm1

Transportni koeficienti

η = ρD = λ/cV

Difuzijska enačba

ρ

t

= D

2ρ

x2

Difuzija tanke plasti

ρ(x,t) =

1

σx√(2π)

exp

x2

x2

,    σx2 = 2Dt

Difuzijska enačba toplote

T

t

= D*

2T

x2

,    D* =

λ

cpρ

Pijančeva hoja

r2⟩ = 6Dt

Prisilna hitrost

vdrift =

τ

m1

F = μF

Difuzivnost in gibljivost

D = μkT

Difuzija kroglic v tekočini

D =

kT

ηr

Statična E & M polja

Električna sila in polje

Fe = eE

Polje točkastega naboja

EP = κe

eQ

rQP2

nQP

Superpozicija polj

EP = κe

 

Q

eQ

rQP2

nQP

EP = κe

ρQ dVQ

rQP2

nQP

Pretok in divergenca polja

E · dS = 4π κee =

e

ε0

· E =

ρ

ε0

Cirkulacija in rotor polja

E · ds = 0

× E = 0

Električni potencial

E = −U

UBUA = −

B

A

E · ds

Potencial točkastega naboja

UP =

1

ε0

eQ

rQP

Superpozicija potencialov

UP =

1

ε0

 

Q

eQ

rQP

UP =

1

ε0

ρQ dVQ

rQP

Potencialna enačba

2U = −

ρ

ε0

Električni dipol

pe = ed
U =

1

ε0

pe · er

r2

Navor na dipol

M = pe × E

Sila na dipol

F = (pe · )E

Energija dipola

W = −pe · E

Polarizacija snovi

P =

dpe

dV

= ned

Električna susceptibilnost

P = χe ε0 E

ε = 1 + χe

Magnetna sila in polje

Fm = Il × B

Polje tokov

BP = κm

I dsQ × nQP

r2QP

BP = κm

jQ × nQP

rQP2

dVQ

Pretok in divergenca polja

B · dS = 0

· B = 0

Cirkulacija in rotor polja

B · ds = 4πκmI = μ0I

× B = μ0j

Magnetni potencial

B = × A

Potencialna enačba

2 A = −μ0j

Potencial tokov

AP =

μ0

jQ dVQ

rQP

Magnetni dipol

pm = IS
A =

μ0

pm × er

r2

Navor na dipol

M = pm × B

Sila na dipol

F = (pm · B) = (pm · )B

Energija dipola

W = −pm · B

Magnetizacija snovi

M =

dpm

dV

= nIS

Magnetna susceptibilnost

M =

χm

μ0

B

1

μ

= 1 − χm

Relativnost gostote nabojev in tokov

ρ' = γ(ρujx/c2)
j'x = γ(jxuρ)
j'y = jy
j'z = jz

Relativnost polj

E'y = γ(EyuBz)
B'z = γ(BzuEy/c2)

E'z = γ(Ez + uBy)
B'y = γ(By + uEz/c2)

E'x = Ex

B'x = Bx

Elektromagnetni valovi

Osnovne enačbe polja

· E =

ρ

ε0

· B = 0

× E = −

B

t

× B = μ0j + μ0ε0

E

t

Polje brez nabojev in tokov

2Eε0μ0

2E

t2

= 0

2Bε0μ0

2B

t2

= 0

c2 =

1

ε0μ0

Ravno valovanje

E = E0 ei(k · rωt)
B = B0 ei(k · rωt)

E = cB × n

Stojno valovanje

E = E0(r) e−iωt

2 E0 = −k2E0
k2 = ω2/c2

Energija valovanja

w

t

= − · Jj · E
w =

ε0

2

E2 +

1

2μ0

B2
J =

1

μ0

E × B

Energija v ravnem valovanju

w⟩ =

ε0

2

E02 =

1

2μ0

B02

J⟩ = cw

Razklopitev osnovnih enačb

B = × A

E = −U

A

t

2A

1

c2

2A

t2

= −μ0j

2U

1

c2

2U

t2

= −

ρ

ε0

Njihova rešitev

UP(t) =

1

ε0

ρQ(trQP / c) dVQ

rQP

AP(t) =

μ0

jQ(trQP / c) dVQ

rQP

Dipolno sevanje

P⟩ =

p02ω4

12πε0c3

I⟩ =

3

2

P

sin2 θ

Osnovne enačbe v snovi

· εE =

ρfree

ε0

· B = 0
× E = −

B

t

×

B

μ

= μ0jfree +

1

c2

εE

t

Mejni pogoji

B (1) = B (2)
ε1E (1) = ε2E (2)

E (1) = E (2)
B (1)/μ1 = B (2)/μ2

Valovanje v dielektriku

v =

c

εμ

n = √εμ

Odbojni količnik

R = |

n1 cos αn2 cos α2)

n1 cos α + n2 cos α2

|2

R = |

n2 cos αn1 cos α2)

n2 cos α + n1 cos α2

|2

R = |

n1n2

n1 + n2

|2

Uklon za odprtino

uP exp (iks) dS

Mrežica tankih rež

j(α) = j0 [

sin (1/2Nka sin α)

N sin (1/2ka sin α)

]2

Široka reža

j(α) = j0[

sin (ka sin α)

ka sin α

]2

Elektroni in ioni

Sila na elektron

F = e(E + v × B)

Hitrost pospešenega elektrona

1

2

mv2 = eUA

Odklon v električnem polju

θ =

eEl

mv2

Odklon v magnetnem polju

ϕ =

eBs

mv

Brez odklona v prekrižanih poljih

v =

E

B

Relativistični elektroni

θ =

eEl

γmv2

ϕ =

eBs

γmv

Nepolarna molekula

pe = αε0E

Plin nepolarnih molekul

M

ρ

(ε − 1) = NAα

Polarna molekula

pe⟩ =

p02

3kT

E

Plin polarnih molekul

M

ρ

(ε − 1) = NA(α +

p02/ε0

3kT

)

Nemagnetna molekula

pm = βB/μ0

Plin nemagnetnih molekul

M

ρ

(μ − 1) = NAβ

Magnetna molekula

pm⟩ =

p02

3kT

B

Plin magnetnih molekul

M

ρ

(μ − 1) = NA (β +

p02μ0

3kT

)

Elektroni v prevodniku

vdrift =

eEτ

m

j = nevdrift = σE
σ =

ne2τ

m

Prečna napetost

U =

1

ne

IB

d

Elektronski oscilatorji

n − 1 =

e2/m

2ε0(ω02ω2)

N

V

n − 1 =

N

V

fk

e2/m

2ε0(ωk2ω2)

Kvantni delci

Fotoelektrični pojav

K = hνW,   h = 6,63 · 10−34 Js

Energija fotona

E = hν

Gibalna količina fotona

G =

E

c

=

hν

c

=

h

λ

Valovna dolžina elektrona

λ =

h

G

=

h

mv

Sipanje alfa na atomskih jedrih

b =

1

2

(

Z1Z2q2

mv2/2

) cot

θ

2

dI/I0

dΩ

=

1

16

N

V

(

Z1Z2q2

mv2/2

)2

l

sin4 θ/2

Energijski nivoji atomov

hν = E2E1

Kvantizacija krožnic

rn = nλ, n = 1, 2, 3 …

Kvantizacija vrtilne količine

L = mvr = nħ, n = 1, 2, 3 …
ħ = h/2π

Krožnice v atomu vodika

r =

ħ2

mq2

· n2 = rB · n2, n = 1, 2, 3 …

Obodna hitrost v atomu vodika

α =

v

c

=

q2

ħc

= 1/137

Energijski nivoji v atomu vodika

E = −

mq4

2ħ2

1

n2

= ER ·

1

n2

Krožnice ali elipse v atomu vodika

E = −

q2

2r

= −

q2

2a

Velike polosi v atomu vodika

a = rB · n2

Male polosi v atomu vodika

b =

l

n

a

Vrtilne količine elips v atomu vodika

L = lħ,    l = 1, 2, 3 … n

Slojevita zgradba atomov

rn = rB

n2

ZS

En = ER

(ZS)2

n2

Notranji elektroni

ν =

3

4

Ry (Z − 1)2

Orbitalni magnetni moment

μ =

e

2m

L

μ =

e

2m

ħl = μBl,    l = 1, 2, 3 … n

Njegova precesija

Ω =

e

2m

B

Njegova smerna kvantizacija

Lz = mlħ
μz = mlμB
ml = −l, −l + 1 … −1, 0, 1 … l − 1, l

Spin in spinski magnetni moment

L = sħ,    s = 1/2
Lz = ms ħ,    ms = −s, +s

μz = 2 ·

e

2m

Lz = ±ħ

Celotni magnetni moment

L = jħ
μ = jμB
Lz = mjħ
μz = mjμB
mj = −j, −j + 1 … j − 1, j

Valovna mehanika

Valovna funkcija delca

Ψ(r,t)

Verjetnost lege

dP

dV

= |Ψ|2

|Ψ|2 dV = 1

Ravni val

Ψ(x, t) = Aei(kxωt) = Aei(GxEt) / ħ

Valovni paket

Ψ(x) =

1

√(2π)

A(k)eikx dk

Njegov spekter

A(k) =

1

√(2π)

Ψ(x)e−ikx dx

dP

dk

= |A|2

|A|2 dk = 1

Razmazanost paketa

Δx2 = ⟨(x − ⟨x⟩)2⟩ = ⟨x2⟩ − ⟨x2
ΔG2 = ⟨(G − ⟨G⟩)2⟩ = ⟨G2⟩ − ⟨G2,

Δx ΔG

ħ

2

Kvantni gibalni zakon

iħ

Ψ

t

= −

ħ2

2m

2Ψ + W(r)Ψ

Tok verjetnosti

ρ

t

+ · j = 0
j =

ħ

2mi

(Ψ*ΨΨ Ψ*)

Stacionarna stanja

Ψ(r,t) = ψ(r) e−iωt

Kvantna amplitudna enačba

ħ2

2m

2ψ + [W(r) − E]ψ = 0

Čisto stanje

Ψ(x,t) = ψn(x) e−iEnt / ħ

Mešano stanje

Ψ(x,t) = cnψn(x) e−iEnt / ħ

ψm*ψn dV = 1, če n = m, sicer 0

|cn|2 = 1

P(En) = |cn|2

Vpad na stopnico

R =

k1k2

k1 + k2

T =

2k1

k1 + k2

Delec v potencialni jami

En =

ħ2

2m

(

nπ

D

)2,    n = 1, 2, 3 …

ψn ∝ sin

nπ

D

x

Harmonični oscilator

W =

1

2

kx2 =

1

2

mω2x2

En = ħω(n +

1

2

),   n = 0, 1, 2, 3 …

ψnHn(

x

a

) exp (−

x2

2a2

),     a2 =

ħ

mω

ψ0 ∝ exp (−

x2

2a2

)

Vodikov atom

W = −

q2

r

En =

mq4

2ħ2

1

n2

ψnlm(r,θ,φ) ∝ Rnl(r) Plm(cos θ) Φm(φ)
ψ100 ∝ exp (−

r

rB

)

n = 1, 2, 3 …
l = 0, 1, 2 … n1
m = 0, ±1, ±2 … ±l

Vrtilna količina

−iħ(r × )ψ = Lψ

L2 = l(l + 1)ħ2, l = 0, 1, 2, 3, …

Projekcija vrtilne količine

−iħ

ψ

φ

= Lzψ

Lz = mħ, m = 0, ±1, ±2, … ±l

Večelektronski atom

ψ(x1,y1,z1,x2,y2,z2) = ψ(1,2)

dV = dx1dy1dz1dx2dy2dz2

dP

dV

= |ψ|2

−[

ħ2

2m

12 +

ħ2

2m

22] ψ + W(1,2)ψ = Eψ

Neodvisni elektroni

W(1,2) = W(1) + W(2)
ψ(1,2) = u(1)v(2)

ħ2

2m

12 u + W(1)u = E1u

ħ2

2m

22 v + W(2)v = E2v
E = E1 + E2

Molekule, kristali, plini

Rotacija molekule

E =

ħ2

2J

l(l + 1),   l = 0, 1, 2, 3 …

Nihanje dvoatomne molekule

E = ħω0(n +

1

2

)

Porazdelitev molekul po energiji

Pi =

1

Z

gi eEi / kT
Z = gi eEi/kT

Nihanje dvoatomnih molekul

Pn =

1

Z

exp (−

ħω0

kT

n)

Z =

1

1 − exp (−ħω0/kT)

E⟩ =

ħω0

exp (ħω0/kT) − 1

= ħω0n

Vrtenje dvoatomnih molekul

Pl =

1

Z

(2l + 1) exp −

(ħ2/2J) l(l+1)

kT

Z

2J

ħ2

kT

Nihanje atomov v kristalu

U = 3NkT

ħω / kT

eħω / kT − 1

cV = 3

k

m1

(

θ

T

)2

eθ / T

(eθ / T − 1)2

θ =

ħω

k

Fermionska porazdelitev

fi =

Ni

gi

=

1

e(EiEF)/kT + 1

dn

dE

=

g(E)

exp (EEF)/kT + 1

= g(E) f(E)

Elektronski plin v kovini

g =

4π(2m)3/2

h3

· E

EF =

h2

2m

(

3n

)2/3

W =

3

5

N EF

p =

2

3

W

V

=

2

5

NEF

V

1

2

mvF2 = EF

Pogoj za nedegenerirano plazmo

h

√(3mkT)

1

n1/3

Pogoja za nerelativistično plazmo

T

mc2

k

n

√8

2

(

mc

ħ

)3

Bozonska porazdelitev

fi =

Ni

gi

=

1

e(EiEF)/kT − 1

dN

dE

=

g(E)

exp (E /kT) − 1

= g(E) f(E)

Fotoni v votlini

g(E) =

V

(hc)3

E2

dw

dE

=

(hc)3

E3

eE / kT − 1

dw

dν

=

2hν3

c2

1

ehν / kT − 1

dw

dλ

=

2hc2

λ5

1

ehc / λkT − 1

p =

1

3

W

V

p = a T4
a =

5k4

15c3h3

Toplotno sevanje

dB

dλ

=

2hc3

λ5

1

ehc / λkT − 1

dj*

dλ

= π

dB

dλ

j* = σT4
σ =

5k4

15c2h3

a =

4σ

3c

λmax =

b

T

b =

hc

4.97k

Atomska jedra

Centralni trk delca 1 v mirujoč delec 2

v2'

v1

=

2m1

m1 + m2

Trk delca 1 z jedrom 2

m2

m1

=

sin θ1

sin (θ1 + θ2)

Transmutacija dušika

2α4 + 7N148O17 + 1p1

Odkritje nevtrona

2α4 + 4Be96C12 + 0n1

mn = 1,009 u

Vezavna energija jedra

Ebind = [Zmp + (AZ)mnm]c2

Vezavna energija nukleona

B =

Ebind

A

Razpad alfa

ZXAZ−2YA−4 + 2α4

Razpad beta

ZXAZ+1YA + e + ν

Razpad gama

ZXAZXA + γ

Preostala jedra

N = N0 eλt

Razpadni čas

τ =

1

λ

Razpolovni čas

T1/2 = τ ln 2

Aktivnost vira

A = −

dN

dt

= A0eλt

Ravnovesje v verigi razpadov

NA

TA

=

NB

TB

=

NC

TC

Absorpcijski radij jedra za nevtrone

r = r0 A1/3,   r0 = 1,2 fm

Cepitev težkih jeder

n + U235 → X + Y + ∼2,5 n

Zlivanje lahkih jeder

H2 + H3 → He4 + n1

Zvezde in vesolje

Zvezde na glavni veji

PTE8

RTE2

PM4

TEM1/2

RM

ρ⟩ ∝

1

M2

Masa sredice oblaka

Mr =

r

0

ρr2dr

Gravitacijska energija oblaka

EG = −

κ Mr

r

dm ∼ −

κM2

R

Toplotna energija oblaka

ET =

3

2

M

kT

Sesedna masa oblaka

MJ =

3kT

2κ

R

Hidrostatično ravnovesje

dp

dr

= −

κMrρ

r2

Tlak v središču

pc

κM2

R4

Notranja temperatura zvezde

Tc

M

R

Masni in fotonski tlak

prad

pgas

M2

Vezavna energija zvezde

Ebind = −(ET + EG)

Za masni plin

ET = −

EG

2

Ebind = ET

Za fotonski plin

ET = −EG
Ebind = 0

Zlivanje protonov v helij

4p → He4 + 2e+ + 2ν

1H + 1H → 2H + e+ + ν + 0.4 MeV
1H + 2H → 3He + γ + 5.5 MeV
3He + 3He → 4He + 2(1H) + 12.9 MeV

Življenjski čas

t

1

M3

Proizvodnja energije

dP

dr

= ερr2

Difuzijski prenos

dT

dr

=

P

r2λ

Konvektivni prenos

dT

dr

=

γ − 1

γ

T

p

dp

dr

Radij bele pritlikavke

R

1

M1/3

Sesedna masa bele pritlikavke

M ∼ (

N

M

)2(

c

κ

)3/2

Nihanje svetilnosti kefeid

M = −a lg (P/dan) − b
a = 2.4
b = 1.7

Beg galaksij

v = H0r

Trajanje od velikega poka

t0

1

H0

Skalirni faktor vesolja

r = a(t)R

Skalirna enačba

(

a'

a

)2 =

κ

3

ρ

kc2

a2

H =

a'

a

Gostotna enačba

ρ' + 3

a'

a

(ρ +

p

c2

) = 0

Raztegovanje svetlobe

λa

Ravno masno dominirano vesolje

a(t) = (

t

t0

)2/3
ρ(t) =

ρ0

a3

Ravno sevalno dominirano vesolje

a(t) = (

t

t0

)1/2
ρ(t) =

ρ0

a4

Kritična gostota vesolja

ρc =

3H2

κ

Ohlajanje prasevanja

T

1

a