Naprej Skozi grede > Ustvarjanje znanosti

35

Relativnost

Svetloba in eterMerjenje etrskega vetraPostulati relativnostiInercialni opazovalni sistemiTransformacija časa in prostoraRelativnost časa in prostoraTransformacija hitrostiFrekvenčni zamik svetlobeMerjenje hitrosti zvezdGibalna količinaSile in gibanjePolna in lastna energijaTransformacija G in EGibalna količina svetlobeMerjenje svetlobnega tlakaJe vse to res?

Svetloba in eter

Gibanje teles opazujemo z očmi, to je, informacijo o njih nam prinaša svetloba.

Gibanje svetlobe po etru

Svetloba je valovanje, zato predpostavimo, da potuje po nečem, po etru. Hitrost svetlobe smo že izmerili z zobatim kolesom in z odbojnim zrcalom in znaša c = 3,00 · 105 km/s. Meritve ob različnih časih, krajih in smereh dajo enak rezultat v okviru merske natančnosti na nekaj odstotkov.

Domnevamo, da je gibanje svetlobe po etru podobno gibanju zvoka po zraku. Zvočni valovi se gibljejo s hitrostjo c = 330 m/s glede na zrak neodvisno od hitrosti izvora. Opazovalec, ki glede na zrak miruje, takšno hitrost tudi izmeri. Če pa se opazovalec giblje glede na zrak s hitrostjo u, izmeri hitrost zvoka c ± u, odvisno od tega, ali se giblje proč (−) ali proti (+) valovanju. Isti odnos velja, če izvor in sprejemnik zvoka medsebojno mirujeta, a zrak se – kot veter – giblje med njima s hitrostjo u.

Gibanje opazovalca po etru

Predstavljamo si, da vesoljski eter "miruje", po njem križarijo svetlobni valovi in skozenj plujejo nebesna telesa z različnimi hitrostmi glede nanj. Eter mora biti tako fin, da telesa ne čutijo nobenega upora. Svetloba se glede na eter giblje vedno z enako hitrostjo. Opazovalec na Zemlji, ki se giblje skozi eter, pa bi moral zaznati povečano ali zmanjšano hitrost svetlobe, kakor se pač giblje. Pričakujemo spremembe, ki so vsekakor manjše od nekaj odstotkov. Zemlja se giblje glede na eter s hitrostjo vsaj 30 km/s (takšna je njena obhodna hitrost okrog Sonca). Pričakovane spremembe v hitrosti svetlobe so zato vsaj ± 30 / 3 · 105 = ± 0,01%. Hočemo jih izmeriti. To pomeni, da moramo meriti z natančnostjo vsaj 0,001%!

Merjenje etrskega vetra

Svetlobni interferometer

Osnovna zamisel meritve je naslednja. Iz žarnice sevamo enobarven curek svetlobe in ga s polprepustnim zrcalom razcepimo na dva delna curka, ki sta medsebojno pravokotna. Ta dva curka spustimo preko dveh krakov in ju z zrcali spet združimo v smeri, kjer ju opazujemo z daljnogledom. To je svetlobni interferometer. Število svetlobnih valov vzdolž obeh razdalj v splošnem ni enako in je odvisno od razlike dolžin krakov ter od razlike hitrosti svetlobe v njih. Če bi bil izhodni curek popolnoma vzporeden, bi bilo vidno polje enakomerno osvetljeno ter bolj ali manj svetlo. Toda curek vsebuje tudi valovanje z nekoliko drugačnimi nagibi, zato se pojavijo v sredini vidnega polja interferenčni kolobarji.

Pri premikanju enega izmed zrcal opazimo, da v središču vidnega polja nastajajo ali izginevajo kolobarji, odvisno v katero smer premikamo. Nov kolobar nastane ali izgine, če premaknemo zrcalo za razdaljo d = λ/2, ker se pri tem spremeni število valov za 1. Nastanek novega kolobarja spremlja premik vsakega starega kolobarja za medkolobarsko razdaljo. Saj se izhodni curek pri skrajšanju oziroma podaljšanju delnega curka za eno valovno dolžino nič ne spremeni in zato se tudi interferenčna slika ne sme. Premik δr kolobarja kot deleža medkolobarske razdalje Δr je torej enak zamiku δλ delnih valov kot deležu valovne dolžine λ: δrr = δλ/λ.

[Michelsonov poskus] Slika 35.1.
Interferometer z dvema krakoma. Pot žarkov je podaljšana z večkratnimi odbojnimi zrcali. Interferometer služi za merjenje razlike med hitrostjo svetlobe vzdolž in prečno na smer gibanja Zemlje okoli Sonca. Pokaže se, da razlike ni. Poskus sta prva opravila A. Michelson in E. Morley. (A. Michelson.)

Merjenje etrskega vetra

V interferometru postavimo oba kraka na enako dolžino L. Privzemimo, da se en krak (vzdolžni) giblje čelno proti etru, drugi (prečni) pa pravokotno nanj, oba s hitrostjo u relativno na eter. Preletni čas t1 svetlobe po vzdolžnem kraku, tja in nazaj, znaša t1 = L/(c + u) + L/(cu) = (2L/c)/(1 − u2/c2). V preletnem času t2 po prečnem kraku pa se premakne polprepustno zrcalo za bazo ut2, zato prepotuje svetloba dve stranici enakokrakega trikotnika nad to bazo; višina trikotnika je L in dolžina stranice ct2. S pomočjo hipotenuznega izreka izračunamo t2 = (2L/c)/(√(1 − u2/c2)). Preletna časa nista enaka. Vzdolžni je daljši. Njuna razlika znaša δt = (L/c)(u2/c2). Pri računu smo aproksimirali koren z binomskim razvojem.

Razliko preletnih časov delimo z nihajnim časom, pri čemer upoštevamo ct0 = c/ν = λ, pa dobimo δt/t0 = L λ u2/c2. Časovni zamik vala je sorazmeren z dolžinskim zamikom vala δt/t0 = δλ/λ, ki pa je, kot smo že ugotovili, sorazmeren s premikom interferenčnih kolobarjev: δλ/λ = δrr. S premikom δr je torej enolično določena hitrost u.

Žal ne vemo, v katero smer moramo usmeriti interferometer, da bo en krak kazal čelno proti etrskemu vetru. (Domnevamo, da proti vzhodu, če merimo opoldne.) Lahko ga pa vrtimo. Pri tem se razlika preletnih časov spreminja in z njo se spreminja zamik izbranega kolobarja glede na njegovo izhodiščno lego. Maksimum in minimum zamika kažeta smer hitrosti etra. Polovična razlika med njima, δr, pa določa velikost hitrosti. Morebitna razlika v dolžini krakov se pri vrtenju izniči.

Veliko truda za "nič"

Da bo meritev dovolj natančna, je potrebno še nekaj domiselnih prijemov. (i) Eno izmed zrcal nekoliko zasukamo, da se namesto kolobarjev v daljnogledu pojavijo interferenčne proge. Njim je laže meriti premike kot kolobarjem. (ii) Dolžino svetlobne poti povečamo z več odbojnimi zrcali. (iii) Tresenje okolice omilimo tako, da interferometer postavimo na težek kamen, ki plava na živem srebru. (iv) Namesto da vrtimo interferometer, raje to delo prepustimo kar rotaciji Zemlje. (v) Seveda se lahko zgodi, da v trenutku merjenja Zemlja res miruje glede na eter, s čimer rotacija interferometra ne bi nič pokazala. Temu odpomoremo tako, da meritev ponovimo čez pol leta. Dober interferometer in skrbne meritve bi morale tako zaznati 0,001% spremembe v hitrosti svetlobe oziroma hitrosti etrskega vetra nad nekaj kilometri na sekundo.

[Michelsonov poskus] Slika 35.2.
Pričakovane (prekinjena črta) in izmerjene (polna črta) spremembe hitrosti. Na navpični osi so izmerjeni premiki črt. Na vodoravni osi so dnevi meritev: opoldne (zgoraj) in zvečer (spodaj). Pričakovane vrednosti so narisane 8-krat pomanjšano. (A. Michelson.)

Rezultati poskusa, tako skrbno zamišljenega in izvedenega, nas osupnejo. Etrskega vetra, torej tudi etra, nikakor ne moremo zaznati!

Postulati relativnosti

Zakaj ni etrskega vetra? Razlaga, da morda Zemlja vleče eter s seboj, se zdi precej za lase privlečena in izumljena zgolj zato, da bi odpravila nepričakovano težavo. Razliko v preletnih časih bi lahko tudi izničili, tako da bi rekli, da se vzdolžni krak ustrezno skrajša pri gibanju skozi eter. Tudi ta razlaga je dvomljiva. Kako naj bi eter to dosegel, ko pa plujejo telesa skozenj brez upora, si je težko zamisliti.

Stalnost svetlobne hitrosti

Ponuja pa se naslednja nadvse presenetljiva možnost: etra pač ni. Svetloba potuje kar po praznem prostoru. Njena hitrost je neodvisna od gibanja izvora in opazovalca:

(35.1)

c' = c.

Kakor hitro že tečemo v smeri svetlobe, vedno se odmika z enako hitrostjo glede na nas. Kakor hitro že tečemo proti svetlobi, vedno se primika z enako hitrostjo glede na nas. Svetlobi iz približujoče se zvezde izmerimo enako hitrost kot svetlobi iz oddaljujoče se zvezde. To se upira celotni (dosedanji) človeški izkušnji, ampak naravi za to ni mar. Povzdignimo torej možnost o stalnosti svetlobne hitrosti v postulat in se namenimo ugotoviti posledice! Na pol za šalo lahko rečemo, da smo se problema znebili tako, da smo ga spremenili v postulat.

Enakopravnost inercialnih sistemov

Kje začeti? Stalnost svetlobne hitrosti se nikakor ne pokorava pravilu o sestavljanju hitrosti, ki v vsakdanjem življenju tako na široko velja. Omenjeno pravilo sledi iz znanih transformacijskih enačb za lego teles in za čas dogodkov v dveh inercialnih sistemih: x' = xut in t' = t. To pomeni, da te transformacije niso pravilne, ko imamo opravka z velikimi hitrostmi. Treba jim bo razširiti območje veljave. Za to pa bo potreben vnovičen premislek o merjenju časa in razdalj ter o sedlanju iz enega opazovalnega sistema v drugega. Kakšen je svet pri velikih hitrostih, bomo morali razbrati iz pridelanih enačb, saj neposrednih izkušenj s tem (še) nimamo.

Pri postavljanju transformacijskih enačb se bomo naslonili na inercialne sisteme, to je take, v katerih telesa ne doživljajo pospeškov, ki ne izhajajo iz okolišnjih teles. Dober primer je vlak na ravnem tiru. Dokler vozi "enakomerno", v njem ni pospeškov razen težnega, seveda. Ko pa zavija v ovinek ali se ustavlja na postaji, vozi "pospešeno". Vsak pospešek dobro čutimo. Telesa v inercialnem sistemu se torej gibljejo – glede na sistem – premo in enakomerno, razen če nanje delujejo dejanske sile. Če je en sistem inercialen, je inercialen tudi vsak drug sistem, ki se glede na prvega premo in enakomerno giblje. V vsakem inercialnem sistemu potekajo gibalni pojavi enako. V vlaku z zaprtimi okni nikakor ne moremo z metanjem kroglic reči, ali vlak miruje glede na tir ali se "enakomerno" giblje. To posplošimo v postulat: v vseh inercialnih sistemih imajo zakoni narave enako obliko.

Inercialni opazovalni sistemi

Merjenje časa

Sedim na železniški postaji in mimo pripelje vlak. Pogledam na stensko uro: urni kazalec vidim, recimo, na 7h. Rečem, da je vlak pripeljal na postajo ob času 7h po stenski uri. Prihod vlaka na postajo in prihod kazalca na številko 7h sem videl istočasno. Zgodila pa sta se na istem mestu, namreč na železniški postaji. Rekel bom, da sta ta dva dogodka čutno sočasna.

Skozi daljnogled opazujem Jupiter. Nenadoma se na njem pojavi, recimo, nekakšna eksplozija. Pogledam na stensko uro: kazalec vidim, na primer, na 7h. Rečem, da je eksplozija nastala ob 7h po stenski uri. (Oddaljeno) eksplozijo in (lokalni) pomik kazalca na številko 7h sem videl istočasno. Zgodila sta se pa na različnih mestih. Tudi za ta dva dogodka bom rekel, da sta čutno sočasna.

Vem, da svetloba potuje od Jupitra do Zemlje slabo uro. Zato rečem, da se je eksplozija zgodila ob času 7h − 1h = 6h po stenski uri, čeravno je takrat na Jupitru seveda nisem videl. Kaj pravzaprav s tem mislim? Tole: na sredini zveznice Zemlja-Jupiter si predstavljajmo mirujočega opazovalca, ki vidi tako Zemljo kot Jupiter. Eksplozijo na Jupitru in prihod kazalca na Zemlji na 6h vidi čutno istočasno.

Če bi bila na Jupitru ura, in če bi na njej – z namišljenim super-daljnogledom – videl 6h ob eksploziji, bi lahko takoj rekel, da se je eksplozija zgodila ob 6h po Jupitrovi uri. Ne bi mi bilo treba upoštevati niti stenske ure niti preletnega časa svetlobe. Seveda bi takrat, ko bi na oddaljenem Jupitru videl 6h (in eksplozijo), na lokalni stenski uri videl 7h.

Opazovalni sistem

Povedano lahko posplošimo. Na svet pogledamo kot na množico dogodkov. Vsak dogodek, recimo eksplozija na Jupitru, ima svojo lego in svoj čas. Oboje je določeno z ozirom na izbrani opazovalni sistem. Opazovalni sistem, to je namišljena toga kockasta rešetka iz palic. Razdalje med sosednjimi oglišči so enake in izmerjene s polaganjem metrske palice. V vsakem oglišču je tabla s tremi številkami, ki pomenijo razdalje od izbranega izhodiščnega oglišča. V vsakem oglišču je tudi ura, ki je sinhronizirana z izhodiščno uro na način, kakor smo ga opisali za Zemljo in Jupiter.

Sinhronizacijo ur lahko izvedemo na več načinov. — Najbolj preprosto je, da v izhodišču zberemo in sinhroniziramo množico ur, nakar jih počasi razvozimo v vsa oglišča sistema. — Lahko tudi iz izhodišča pošljemo blisk svetlobe ob lokalnem času t0 v točko A. Tam se odbije ob lokalnem času tA (ki ga moramo še določiti) in se vrne v izhodišče ob lokalnem času t1. Definiramo tA = (t1t0)/2. Ko se torej odbiti blisk vrne v izhodišče ob času t1, "nosi s seboj" sliko oddaljene ure, ki kaže tA. Če je, na primer, t0 = 0h, t1 = 2h, potem tA = 1h. — Ali pa v vsako oglišče namestimo uro in njen kazalec postavimo na vrednost t0 + r/c, pri čemer je t0 poljubna vrednost, recimo 0h, in r razdalja od izhodišča. Ure ne sprožimo. Ko razmestimo vse ure, se vrnemo v izhodišče, postavimo izhodiščno uro na t0, jo sprožimo in istočasno pošljemo svetlobni signal v vse smeri. Ko signal doseže kako uro, jo sproži, recimo preko fotocelice.

Kakorkoli že, s tem so vse ure sinhronizirane. Opazovalec, ki sedi v kateremkoli oglišču rešetke, vidi okoli sebe množico ur. Čim bolj so oddaljene od njega, tem manjši čas vidi na njih. Ura, kjer opazovalec vidi za 1h manjši čas kot na lokalni uri, je od njega oddaljena za r = c · 1h. Nasploh je na uri, ki je oddaljena za r, viden čas t = t0r/c, ko je na lokalni uri viden čas t0.

[Opazovalni sistem] Slika 35.3.
Pogled vzdolž (enodimenzionalnega) opazovalnega sistema. V enakomernih razdaljah so nameščene dolžinske table in sinhronizirane ure. Dogodek se zgodi ob neki tabli in uri. Z njima sta določeni časovna in prostorska koordinata dogodka. Sistem si je zamislil A. Einstein.

Seveda opazovalnega sistema ne moremo zares postaviti v del sveta, ki ga preučujemo. Vendar pa hočemo, da bo naše nadaljnje razmišljanje o času in prostoru konsistentno s tem, da bi sistem v principu lahko bil prisoten.

Merjenja v sistemu

Čas dogodka, to je številka na njemu lokalni uri. Vsak opazovalec, v katerikoli točki opazovalnega sistema že sedi, vidi enak čas tega dogodka. Saj pride do njega svetloba od dogodka in od tamkajšnje ure vštric po isti poti.

Lega dogodka, to so tri številke na njemu lokalni tabli. Vsak opazovalec, v katerikoli točki opazovalnega sistema že sedi, vidi enako lego tega dogodka.

Lego in čas dogodka poimenujemo njegove svetovne koordinate. Tri od njih so krajevne in ena časovna.

V neki točki opazim eksplozijo A ob (tamkajšnjem) času tA. Nekaj kasneje opazim v drugi točki še eno eksplozijo B, in sicer ob (tamkajšnjem) času tB = tA. Očitno se je druga eksplozija zgodila pri večji oddaljenosti. Oba dogodka, ki sta ločena v prostoru, a "razpošiljata" enak čas, poimenujem sočasna dogodka. Saj bi ju mirujoč opazovalec na sredi med njima videl kot čutno sočasna.

V neki točki na osi x nenadoma zagledamo vesoljsko ladjo. To je dogodek A. Na lokalni tabli in uri vidimo njegovo lego xA in čas tA. Nekaj kasneje vidimo ladjo v drugi točki na osi x. To je dogodek B. Na lokalni tabli vidimo njegovo lego xB in čas tB. Kakšna je hitrost ladje? Definiramo:

(35.2)

v =

xBxA

tBtA

.

Vsak opazovalec, v katerikoli točki opazovalnega sistema že sedi, bi videl enake začetne in enake končne svetovne koordinate, zato bi izračunal enako hitrost ladje.

Transformacija časa in prostora

Dva opazovalna sistema

V "mirujočem" opazovalnem sistemu S se naj giblje "premični" opazovalni sistem S'. Koordinatne osi obeh sistemov naj bodo istosmerne in gibanje izhodišča S' naj poteka vzdolž osi x s hitrostjo u. Vsak sistem sestoji iz toge mreže in ur. Ko se izhodišči obeh sistemov srečata, tamkajšnja opazovalca nastavita osrednji uri na 0 in nato sinhronizirata vsak svoje ure na že opisani način. Nenadoma se nekje v svetu pojavi eksplozija. Opazovalec v S jo vidi pri svojih koordinatah (t, x, y, z) in opazovalec v S' pri svojih koordinatah (t', x', y', z'). Kako so te koordinate med seboj povezane? Kakšna je torej transformacija koordinat?

Transformacije koordinat

Predpostavimo, da ima iskana transformacija za koordinato x linearno obliko x' = γ(xut) z neznanim faktorjem γ. Izhodišče premičnega sistema ima koordinato x' = 0, kar pomeni, da se giblje kot x = ut, kakor tudi mora biti. Ker sta sistema enakopravna, mora imeti obratna transformacija enako obliko z nasprotnim predznakom hitrosti: x = γ(x' + ut'). Preostali dve koordinati sta na gibanje pravokotni, zato postavimo y' = y in z = z. Ko sta opazovalca vštric, eden izmed njiju izseva svetlobni signal v vse smeri. V vsakem sistemu ima signal obliko krogle: x = ct in x' = ct'. Vstavimo x v prvo transformacijsko enačbo in x' v drugo, pomnožimo leve in desne strani ter izvlečemo

(35.3)

γ =

1

√(1 − u2/c2)

.

Nato izrazimo x' iz prve transformacijske enačbe, ga vstavimo v drugo ter iz nje izrazimo t'. Tako dobimo

(35.4)

t' = γ(tux / c2)
x' = γ(xut)
y' = y
z' = z .

Obratne transformacijske enačbe dobimo, ko zamenjamo predznak pri u ter črtice pri koordinatah. Vpeljani faktor γ je odvisen od hitrosti. Pri majhnih hitrostih v primerjavi s svetlobo je enak 1, nato pa narašča. Pri majhnih hitrostih preidejo nove, relativistične transformacije v stare, klasične, kakor tudi mora biti.

[Gamma] Slika 35.4.
Odvisnost faktorja γ od hitrosti. Pri vsakdanjih hitrostih je faktor nerazločljiv od 1.

Transformacije intervalov

Dva dogodka A in B v sistemu S se v splošnem razlikujeta v času in kraju; njuno razlikovanje opišemo kot

(35.5)

Δ t = tBtA
Δ x = xBxA .

Transformacijske enačbe takoj povedo, kakšne so razlike v sistemu S':

(35.6)

Δt' = γtuΔx/c2)
Δx' = γxuΔt) .

Očitno so časovne in prostorske razlike istih dveh dogodkov, kakor ju vidita opazovalca v S in S', različne. Kaj torej zapisane relativistične transformacije pravzaprav pomenijo? Kakšen je svet, ki ga opisujejo? Poglejmo nekaj posebnih primerov.

Relativnost časa in prostora

Izguba sočasnosti

Recimo, da se v sistemu S zgodita dva dogodka istočasno, torej da imata enaki časovni koordinati tB = tA, to je, njuna razlika znaša Δt = 0. V sistemu S' zato velja Δt' = −γuΔx/c2, kar v splošnem ni nič. To pomeni, da dogodki, ki so sočasni v enem sistemu, niso nujno sočasni v drugem! To je relativnost sočasnosti.

Podaljšanje časa

V sistemu S' naj se v točki x'0 nekaj dogaja, recimo prižge, gori in ugasne ogenj. Dogajanje se začne ob t1' in konča ob t2', traja torej Δt' = t2' − t1'. Ker Δx' = 0, velja Δt' = γΔt. Označimo "mirujoče" trajanje z Δt0 in "gibajoče" trajanje z Δt, pa velja:

(35.7)

Δt = γΔt0 .

Gibajoče trajanje je daljše kot mirujoče! Namesto ognja si mislimo tiktakanje ure. Vsak tik-tak je podaljšan. Gibajoča se ura torej tiktaka počasneje od mirujoče ure. To je podaljšanje časa. Ker sta sistema enakovredna, vsak opazovalec vidi pri sosedu počasnejše ure kot pri sebi. Svoje ure pa vidi normalno.

[Podaljšanje časa] Slika 35.5.
Podaljšanje časa. Gibajoča se ura teče počasneje. Pojav je napovedal A. Einstein.

Skrajšanje dolžin

V sistemu S' naj miruje palica. Njen zadnji konec je pri xB' in sprednji pri xA'. Njena dolžina je očitno Δx' = xA' − xB'. Opazovalec v S zazna dva dogodka. (i) Zadnji konec palice doseže točko xB' ob času t. Sprednji konec palice je tedaj ob uri, ki kaže manj kot t. (ii) Nekaj kasneje doseže prvi konec palice uro, ki kaže t; ta ura leži pri xA. Ker Δt = 0, velja Δx' = γ Δx. Označimo "mirujočo" palico z Δl0 in "gibajočo" z Δl, pa velja

(35.8)

Δl = Δl0 / γ .

Gibajoča palica je krajša kot mirujoča! Namesto palice si mislimo kar razmik v koordinatni rešetki. Vsak razmik je skrajšan. Gibajoči se sistem je torej stisnjen v smeri gibanja. To je skrajšanje dolžin. Ker sta sistema enakovredna, vsak opazovalec vidi pri sosedu bolj stisnjene rešetke kot pri sebi. Svoje rešetke pa vidi normalno.

[Skr dolžin] Slika 35.6.
Skrajšanje dolžin. Gibajoča se telesa so skrajšana v smeri gibanja. Pojav je napovedal A. Einstein.

Je skrčenje palice "zaresno" ali "navidezno"? Skrčenje ni zaresno v smislu, da ga s palico vred gibajoči se opazovalec ne zazna. Je pa zaresno v smislu, da ga (v principu) zazna vsak drug opazovalec.

Transformacija hitrosti

Kakšne so hitrosti teles, opazovane iz različnih opazovalnih sistemov?

Količnik intervalov

Omejimo se najprej na dogodke vzdolž osi x. Delec naj se giblje med dvema dogodkoma. S krajevnim in časovnim intervalom v vsakem sistemu je podana tamkajšnja hitrost gibanja. Premik Δx' = γ(u)(ΔxuΔt) delimo s trajanjem Δt' = γ(u)(ΔtuΔx/c2), pokrajšamo γ, števec in imenovalec delimo z Δt ter upoštevamo Δxt = vx in Δx'/Δt' = v'x. Tako dobimo

(35.9)

vx' =

vxu

1 − vxu / c2

.

V treh razsežnostih, ko dogodki niso omejeni na os x, dobimo na podoben način še

(35.10)

vy' =

1

γ

vy

1 − vxu/c2

vz' =

1

γ

vz

1 − vxu/c2

.

Zgornja meja hitrosti

To je transformacija hitrosti. Obratno transformacijo dobimo na že znani način – s spremembo predznaka hitrosti u ter s premeščanjem črtic. Pri majhnih hitrostih uc preidejo enačbe v znano klasično obliko. Če postavimo vx = c, dobimo vx' = c, kakor tudi mora biti. Hitrost svetlobe je v vsakem sistemu stalna. Ni večje hitrosti od svetlobne.

Frekvenčni zamik svetlobe

V izhodišču S naj miruje svetilka, ki oddaja bliske s frekvenco ν, recimo enega na uro. Kakšno frekvenco ν' zaznava opazovalec v izhodišču S' po svoji lokalni uri?

Sprememba frekvence

Ko izhodišči obeh sistemov sovpadata, izseva svetilka prvi blisk. Tega vidita oba izhodiščna opazovalca, vsak na svoji lokalni uri, ob 0. Drugi blisk izseva svetilka, za opazovalca v izhodišču S po njegovi izhodiščni uri, ob t. Opazovalec v S' vidi ta blisk na uri, ki je sosednja izhodišču S, ob t' = γt. Istočasno vidi na svoji lokalni uri t' + ut'/c. Za opazovalca v S je torej minil med dvema bliskoma čas t = 1/ν, za opazovalca v S' pa t' + ut'/c = 1/ν'. Velja torej: 1/ν' = γt(1 + u/c). Upoštevajoč γ = 1/√((1−u/c)(1+u/c)), dobimo

(35.11)

ν'

ν

=

√(1 − u/c)

√(1 + u/c)

.

Frekvenca bliskov, ki jo zazna oddaljujoči se opazovalec, je torej manjša. Če se opazovalec približuje, torej u → −u, se pa frekvenca poveča. Vseeno je, ali giblje izvor ali opazovalec, šteje le njuna medsebojna relativna hitrost. Kadar se gibanje ne poteka po zveznici izvora in opazovalca, velja zapisano le za vzdolžno komponento hitrosti. Namesto bliskov svetlobe si mislimo kar svetlobo samo s svojimi hribi in dolinami. Potem velja zapisana enačba tudi za frekvenco svetlobe.

Sprememba valovne dolžine

Če upoštevamo c = λν, velja tudi

(35.12)

λ'

λ

=

√(1 + u/c)

√(1 − u/c)

.

Za majhne hitrosti velja približek √(1 ± u/c) ≈ 1 ± u/2c. Števec in imenovalec pomnožimo s števcem, zanemarimo kvadratne člene in dobimo λ'/λ = 1 + u/c oziroma

(35.13)

Δλ

λ

=

u

c

.

Valovno dolžino svetlobe, recimo diskretni spekter natrijeve pare, merimo s spektrometrom na mrežico. Črte gibajočega se izvora so premaknjene glede na črte mirujočega izvora. Govorimo o rdečem premiku ali modrem premiku črt. Ločljivost dobrega laboratorijskega spektrometra je okrog R = λλ ≈ 6000, torej okrog 1 Å pri vidni svetlobi. Tolikšen premik črte ustreza hitrosti izvora 50 km/s. Tako hitrih svetil v laboratoriju ne zmoremo ustvariti.

Merjenje hitrosti zvezd

Orbitiranje Zemlje

Pa saj se giblje Zemlja okrog Sonca z orbitalno hitrostjo vE = 30 km/s! Spektri zvezd morajo biti zato ustrezno premaknjeni. Največji zamik pričakujemo od zvezd, ki ležijo na ekliptiki v smeri ali v nasprotni smeri Zemljinega gibanja. Če zvezda miruje glede na Sonce, pričakujemo dvakrat letno njen spektralni zamik, ki ustreza Zemljini orbitalni hitrosti: enkrat rdečega in enkrat modrega. Če se zvezda giblje glede na Sonce, pa bo vsaj eden od odmikov še večji.

[Arktur] Slika 35.7.
Hitrost zvezde. Ko se Zemlja približuje zvezdi, zaznamo modri premik njenih spektralnih črt. Ko se odmika, zaznamo rdeči premik. Z obema premikoma sta določeni hitrost zvezde in hitrost Zemlje glede na Sonce.

Merilna metoda

Slika pove naslednje. V točkah A in B, pol leta narazen, znaša hitrost Zemlje vA = vstar + vE in vB = vstarvE. Enačbi medsebojno enkrat seštejemo in enkrat odštejemo, pa dobimo vE = (vAvB)/2 in vstar = (vA + vB)/2. Hitrosti vA in vB sta določeni z izmerjenima frekvenčnima premikoma. S tem sta določeni tudi orbitalna hitrost vE in (radialna) hitrost zvezde vstar.

Vzorčni izmerki

Primerna zvezda za opazovanje je svetli Arktur, ki je po spektru zelo podoben Soncu. Arktur sicer ne leži točno na ekliptiki, vendar nam gre le za oceno in nagib zanemarimo. Opazovanje spektra okrog valovnih dolžin 4300 A z natančnostjo okrog 0,1 Å pokaže spektralna zamika, ki ustrezata vA = 40 km/s in vB = −30 km/s, kar pomeni vE = 35 km/s in vstar = 5 km/s. S spektroskopskim merjenjem smo torej določili orbitalno hitrost Zemlje na 20 % natančno. To nam daje zaupanje, da je tudi izmerjena (radialna) hitrost Arkturja pravilna v okviru navedene natančnosti. Meritve drugih svetlih zvezd v paralaktični oddaljenosti do nekaj deset svetlobnih let pokažejo podobne hitrosti. Največje hitrosti dosegajo 100 km/s.

Gibalna količina

Gibalno količino delca smo definirali kot G = mv. Kadar ni zunanjih sil, se gibalna količina sistema delcev ohranja. Ker so se pa spremenile transformacijske enačbe za hitrost, se pojavi vprašanje, kaj je z ohranitvijo gibalne količine, opazovane v različnih sistemih.

Elastični trk

Preučimo elastični trk dveh enakih delcev. Opazovalni sistem S postavimo tako, da se delca približujeta eden proti drugemu z nasprotno enakima hitrostima v. To je težiščni sistem. Delec 1 ima v njem pred trkom hitrost (−vx,−vy) in po trku (−vx, +vy), delec 2 pa pred trkom (vx,vy) in po njem (vx,−vy). Sprememba gibalne količine v vsaki koordinatni smeri je torej enaka nič.

[Trk] Slika 35.8.
Trk delcev, opazovan v "mirujočem" težiščnem sistemu. (Berkeley Physics Course.)

Kako pa je videti trk v sistemu S', ki se glede na S giblje s hitrostju u = vx? V tem sistemu ima delec 1 pred trkom hitrost (−v1x', −v1y') in po njem (−v1x', +v1y'), delec 2 pa (0,v2y') in (0,−v2y'). Transformacijske enačbe za hitrosti povedo: v1x' = −2vx/(1 + vx2/c2); v1y' = vy/(1 + vx2/c2)γ(vx); v2x' = 0; in v2y' = vy γ(vx).

[Trk] Slika 35.9.
Trk delcev, opazovan v v gibajočem se sistemu. Z njim sta definirana gibalna količina in gibalni zakon za hitra telesa. Oboje je določil A. Einstein. (Berkeley Physics Course.)

Očitno je, da y-komponente hitrosti v S' niso enake, čeravno so enake v S. To pa zato, ker v S niso enake x-komponente hitrosti, ampak imajo nasprotne predznake. Vidimo torej, da klasična definicija gibalne količine ne zagotavlja njene ohranitve v vseh opazovalnih sistemih. Ohranitev gibalne količine pa je preveč pomembna, da bi se ji zlahka odrekli. Zato poskusimo spremeniti njeno definicijo tako, da bo pri nizkih hitrostih prešla v staro, in da bo pri vseh hitrostih ostal ohranitveni zakon v veljavi.

Nova gibalna količina

Nova definicija mora biti taka, da y-komponenta gibalne količine ni odvisna od x-komponente hitrosti opazovalnega sistema, v katerem opazujemo trk. Vemo, da se pri sedlanju iz enega sistema v drugega ne spreminja razmik Δy. Vendar pa je čas Δt, potreben za prelet Δy, odvisen od sistema, in zato je taka tudi komponenta vy = Δyt. Namesto na laboratorijsko uro, ki meri Δt, pogledamo na uro, ki jo nosi delec sam. Ta ura meri lastni čas delca Δτ. Vsi opazovalci se strinjajo o vrednosti tega časa, pa je zato Δyτ enak v vseh sistemih. Ker Δτ = Δt/γ, velja Δyτ = Δyt · Δtτ =yt)γ. Torej bo y-komponenta od γv enaka v vseh sistemih. Zato definiramo

(35.14)

G = mγ(v)v.

To je razširjena definicija dosedanje gibalne količine. Če so hitrosti majhne, preide v staro definicijo.

Sile in gibanje

Nov gibalni zakon

Gibalni zakon za masni delec smo do sedaj pisali kot F = mdv/dt. Ker je masa konstantna, velja tudi zapis F = d(mv)/dt. Nanj lahko pogledamo kot na definicijo sile preko spremembe (stare) gibalne količine. Slednja se, kot smo videli, ne ohranja. Zato ne premišljamo kaj dosti in raje definiramo silo, torej vpliv okolice na delec, preko spremembe nove gibalne količine:

(35.15)

dG

dt

= F.

To je relativistični gibalni zakon. Pri majhnih hitrostih preide v klasičnega.

Stalna sila

Če na delec ne deluje nobena sila (ali je vsota sil nanj enaka nič), se mu ohranja gibalna količina, to je, delec se giblje premo in enakomerno. Kako pa se delec giblje pod vplivom stalne sile? Gibalni zakon zapišemo v obliki γ(v)v = Ft/m in izvlečemo hitrost:

(35.16)

v =

Ft/m

(1 + (Ft/mc)2)

.

Spočetka narašča hitrost sorazmerno s časom: v = (F/m)t, kakor tudi mora biti. Kasneje pa hitrost narašča čedalje počasneje in se bliža hitrosti svetlobe. Snovna telesa zato ne morejo doseči svetlobne hitrosti. Pot, ki jo opravi telo, dobimo iz integrala s = ∫ vdt:

(35.17)

s =

c2

F/m

((1 + (Ft/mc)2) − 1).

Razvoj v binomsko vrsto pove, da za začetne čase velja s = (F/m)t2/2, kar je tudi prav.

Kako jo spoznamo

Kako pa vemo, da je kakšna sila konstantna? Tako, da se telo pod njenim vplivom giblje na pravkar izračunani način! In katera sila v naravi naj bi bila takšna? Gravitacija v bližini Zemlje ali Sonca je sicer homogena, a mnogo prešibka. Morda električna sila na lahko nabito telo v zaporedno zvezanih kondenzatorjih? Ali pa namišljena vesoljska ladja, katere izpuh je prilagojen tako, da med izgubljanjem mase velja F/m = const? Kot vidimo, se da računsko zatrditi marsikaj, česar v naravi morda sploh ni mogoče najti.

Polna in lastna energija

Kinetična energija

Sila F naj pospešuje delec vzdolž osi x od začetne hitrosti u = 0 do končne hitrosti u = v. Hočemo, da je dovedeno delo enako spremembi kinetične energije: K = ∫ F · dx. Silo izrazimo kot spremembo (relativistične) gibalne količine v času: F · dx = ∫ dG/dt · dx = 0v u dG. Integral najprej preoblikujemo po delih v obliko G · u − ∫ G du, vstavimo izraz za gibalno količino G = γ(u)mu in rešimo preostali integral s spremembo diferenciala u · du → d(1 − u2/c2). Ta integral znamo izračunati in dobimo

(35.18)

K = (γ(v) − 1)mc2 .

Če razvijemo γ po binomskem izreku, vidimo K = 1/2 mv2 + … . Pri majhnih hitrostih je torej relativistična kinetična energija enaka klasični, sicer pa je večja. Lepo je videti, kako vse dobljene enačbe prehajajo v klasične.

Polna in lastna energija

Izraz za kinetično energijo lahko zapišemo takole: γ(v)mc2 = K + mc2. Prvi člen poimenujemo polna energija in je vsota kinetične energije in mirovne energije:

(35.18)

E = K + mc2
E = γ(v) mc2

Če ni zunanjih sil, recimo pri izoliranem trku dveh teles, se (poleg gibalne količine) ohranja polna energija, to je vsota obeh omenjenih energij. Ni treba, da se ohranjata kinetična energija in mirovna energija vsaka zase.

[MC2] Slika 35.10.
Odkritje slavne enačbe o ekvivalenci mase in energije. Povezavo je odkril A. Einstein. (Sidney Harris.)

Ekvivalenca mase in energije

Naj telo miruje v opazovalnem sistemu. Potem nima kinetične energije in velja E = mc2. Če telo seva in s tem izgubi energijo ΔE, se mu masa zmanjša za Δm = ΔE/c2. Pri tem ni bistveno, da odvzeta energija postane energija sevanja. Iz tega sklepamo, da masa telesa meri energijo, ki jo telo vsebuje. Drugemu telesu, ki svetlobo absorbira, pa se poveča energija in s tem masa. Svetloba takorekoč prenaša maso iz sevalcev na absorbente.

Kolikšna energija se skriva v 1 g snovi? Strahotnih 105 GJ; toliko v enem dnevu proizvede največja hidroelektrarna, kar smo jih doslej zgradili. — Koliko mase izgublja Sonce s sevanjem? Nepredstavljivih 1014 ton v enem letu, kar je približno masa kamnite kocke s stranico 200 km. Vendar je to zgolj nezaznavnih 10−14 celotne mase. — Koliko mase pa pridobi kos železa, če ga segrejemo od 300 na 500°? Nezaznavnih 10−12 začetne mase.

Energijska invarianta

Definicijsko enačbi za polno energijo in definicijsko enačbo za gibalno količino kvadriramo in drugo odštejemo od prve, pazeč na enote. Ugotovimo

(35.20)

E2 − (cG)2 = (mc2)2 .

Desna stran ni odvisna od izbire koordinatnega sistema, saj sta c in m konstanti. To pomeni, da je leva stran enačbe enaka v vsakem opazovalnem sistemu, da je energijska invarianta.

Transformacija G in E

Transformacija gibalne količine in energije

Definicijo gibalne količine G = mγv lahko zapišemo v obliki G = mdr/dτ. To pomeni, da se gibalna količina transformira tako, kot krajevni vektor, saj sta masa in lastni čas invarianti. Transformacijo x' = γ(xut) pomnožimo z maso in odvajamo na lastni čas, upoštevajoč mdt/dτ = mγ = E/c2, pa dobimo

(35.21)

Gx' = γ(GxuE/c2).

Preostali dve transformaciji sta Gy' = Gy in Gz' = Gz. Podobno obdelamo transformacijo t' = γ(tux/c2). Množimo jo z m, odvajamo na dτ ter pridelamo

(35.22)

E' = γ(EuGx).

To so transformacije gibalne količine. Transformacijske enačbe smo izpeljali za posamičen delec, veljajo pa seveda tudi za celetno gibalno količino in energijo sistema delcev. Enake transformacijske enačbe kot za G in E veljajo tudi za spremebe ΔG in ΔE:

(35.23)

ΔGx' = γ(ΔGxuΔE/c2)
ΔE' = γEuΔGx).

Prepletenost gibalne količine in energije

Izolirani sistem delcev v S ima ΔG = 0. Da bo tudi v S' veljalo ΔG' = 0, mora veljati še ΔE = 0. To je: ohranitev gibalne količine velja v obeh sistemih le v primeru, ko v prvem sistemu velja še ohranitev energije. Podobno je z ohranitvijo energije: če ΔE = 0, potem bo ΔE' = 0 le v primeru, ko ΔG = 0. Ohranitev energije velja v obeh sistemih le, če v prvem sistemu velja še ohranitev gibalne količine.

To je nekaj novega. Gibalna količina in energija sta medsebojno povezani količini. Ohranitvena zakona za gibalno količino in energijo torej nista več neodvisna, ampak imamo opravka z enim samim zakonom – ohranitvijo G in E. Saj se obe količini pri sedlanju iz enega inercialnega sistema v drugega "pretvarjata" druga v drugo.

Neelastični trk in masni presežek

Dober zgled je neelastični trk. Naj se dva enaka delca bližata drug drugemu z enakima hitrostima, trčita in obtičita skupaj. Pri tem naj v okolico ne oddata nič energije, recimo s svetlobo. Ohranitev gibalne količine pove mγ(v)vmγ(v)v = Mγ(V)V. Iz tega sklepamo, da V = 0. Ohranitev energije pa pravi mc2γ(v) + mc2γ(v) = Mc2γ(V) = Mc2. Tako ugotovimo M = 2mγ(v). Masa skupka je večja od vsote izvornih mas. Izgubljena kinetična energija se pojavi kot mirovna energija (masa). Masa skupka torej zajema notranjo kinetično in potencialno energijo sestavin. Za mase teles pa ohranitveni zakon ne velja več.

Gibalna količina svetlobe

Če sta energija in gibalna količina delcev med seboj povezani količini, mar ne velja to tudi za svetlobo? Svetloba vendarle nosi s seboj energijo; ali morda nosi tudi gibalno količino?

Gibalna količina bliska

Predstavljajmo si zaprt vagon na kolesih. Njegova dolžina je L in masa M. Iz leve stene naj svetilka izseva blisk svetlobe proti desni steni, kjer se absorbira. Najprej je bilo nekaj energije E na levi steni, potem pa na desni. Energija se je premaknila za dolžino vagona. Vendar: energija ima maso E/c2. Če bi bil pri premiku energije vagon pri miru, bi se premaknilo njegovo težišče. Ni nam všeč, da bi se težišče vagona premaknilo zgolj zaradi dogajanja v njegovi notranjosti. Zato zahtevamo, da težišče ostane pri miru, to je, da se vagon premakne za x v levo. Veljati mora torej (1): Mx = (E/c2)L.

Kaj je premaknilo voz v levo? Ob izsevu svetlobe je moral nanj delovati odriv z gibalno količino G. Vagon je pri tem dobil odrivno hitrost (2): v = G/M. S to hitrostjo se je gibal kratek čas (3): t = L/c, dokler svetloba ni dosegla druge stene, nakar se je ustavil. Velja x = vt. Vstavimo v iz (2) in t iz (3) ter dobljeno vrednost x vstavimo v (1). Tako dobimo

(35.24)

G =

E

c

.

Gostota gibalne količine

To je gibalna količina bliska svetlobe z energijo E. Gostota gibalne količine

(35.25)

g =

G

V

je G/V = G/Sct = (E/St)/c2, torej

(35.26)

g =

j

c2

.

Svetlobni tlak

V snopu svetlobe s presekom S in dolžino ct je G = g · Sct gibalne količine. Če se ta svetloba v celoti absorbira na izhodnem preseku, tam odda G/St = gc gibalne količine na časovno in ploskovno enoto, to je, izvaja tlak

(35.27)

p = gc .

Če se svetloba ne absorbira, ampak se odbije, je sprememba njene gibalne količine dvakrat tolikšna, to je, tlak je dvakrat večji. Nasploh je tlak odvisen od tega, kolikšen delež R svetlobe se odbije:

(35.28)

p = (1 + R) gc .

Sončna svetloba z gostoto toka 1 kW/m2 izvaja pritisk 0,3 miliponda na m2 črne površine. Celotna Zemlja čuti potisno silo, ki je ∼ 1013-krat manjša od gravitacijskega privlaka Sonca. Ni se nam treba bati, da nas bo odpihnilo v vesolje.

Merjenje svetlobnega tlaka

Svetlobni mlin

Morda lahko svetlobni tlak dokažemo? Naredimo drobno in lahko lopatičasto kolo, ki je vrtljivo okoli navpične osi, in ga pokrijemo s steklenim zvonom, iz katerega izsesamo večino zraka. Eno stran lopatic potemnimo, drugo pozrcalimo. Svetloba deluje z večjim tlakom na zrcalno površino, zato bi se moralo kolesce zavrteti s temno stranjo lopatic naprej. Čaka nas presenečenje: kolesce se res zavrti, a s svetlo stranjo lopatic naprej.

[Svetlobni mlin] Slika 35.11.
Svetlobni mlin. Lopatičasto kolo je vrtljivo okrog navpične osi v izsesani posodi. Lopatice so na eni strani črne, na drugi zrcalne. Ko na kolo sije svetloba, se vrti. Mlinček je izumil W. Crookes. (Anon.)

Kako je to mogoče? Sklepamo, da je kriv zrak pod zvonom. Temna stran lopatice se močneje segreje in od nje se segreje tudi dotična plast zraka. Segreti zrak povzroči okrog lopatic konvekcijske tokove in z njimi povezane tlačne podpritiske, ki delujejo na lopatice. Da se znebimo teh vplivov, moramo poskrbeti za za čimboljši vakuum.

Torzijski svetlomer

Z mnogo truda nam uspe, in sicer z lopatičasto prečko, obešeno na tanki nitki v stekleni posodi z visokim vakuumom. Poskus spominja na onega za določevanje gravitacijske konstante. Vir svetlobe je električna obločnica, ki ji s spremenljivim uporom lahko spreminjamo moč sevanja. Svetlobo iz obločnice vodimo z zrcali in lečami skozi izstopno diafragmo na eno lopatico znanega preseka in ročice. Pred izhodno diafragmo odcepimo del svetlobnega toka in ga vodimo na termočlen z galvanometrom. Odklon galvanometra služi kot indikator, kako močno seva obločnica. Ko vključimo obločnico, vpade njena svetloba na lopatico in prečka se zasuče. Obenem se odkloni tudi galvanometer in pokaže moč obločnice. Zasuk prečke je sorazmeren z navorom nanjo; in navor je sorazmeren z gostoto vpadajočega energijskega toka.

[Lebedev] Slika 35.12.
Merjenje svetlobnega tlaka. B obločnica, W vodni filter za blokado infrardeče svetlobe, T termočlen, R = prostor za vrtljivo prečko, G steklena posoda, S1-S4 krmilni zrcali za usmerjanje svetlobe na eno ali drugo stran prečke. Tlak je prvi izmeril P. Lebedev. (P. Lebedev)

Pred meritvijo je treba celotno pripravo kalibrirati. Sučni koeficient nitke določimo iz nihajnega časa umerilne prečke z znanim vztrajnostnim momentom. Energijski tok svetlobe, ki izstopa skozi diafragmo, pa določimo z majhnim kalorimetrom, in sicer pri različnih močeh obločnice. S tem kalibriramo tudi galvanometrsko skalo. Ko je priprava kalibrirana, prižgemo obločnico in ji nastavimo primerno jakost. Galvanometer pove, kakšen je svetlobni tok in odklon prečke pove, kakšen je svetlobni tlak. Rezultati potrdijo njuno pričakovano soodvisnost na 10-20% natančno, tako za črno kot za zrcalno lopatico.

Je vse to res?

Končali smo z razvojem teorije relativnosti. Pod "teorijo" razumemo zaokrožen sistem postulatov in izrekov, ki iz njih sledijo, morda z nekaterimi dodatnimi privzetki. Izreki morajo biti, vsaj v principu, eksperimentalno preverljivi.

Eksperiment kot sodnik

Žal so presenetljivi pojavi, ki jih teorija relativnosti napoveduje, večinoma znatni šele pri dovolj hitrih telesih. Takih teles zaenkrat v laboratoriju ne najdemo oziroma jih ne zmoremo ustvariti. Krogle iz pušk so prepočasne in tehtnice premalo natančne. Vendar pa smo le uspeli potrditi, s poskusom, dve napovedi teorije: frekvenčni zamik svetlobe (ki vodi do pravilne ocene Zemljine orbitalne hitrosti) in gibalno količino svetlobe (ki vodi do pravilne ocene za svetlobni tlak). Upamo, da bomo v nadaljevanju raziskav našli še več poti, kako teorijo eksperimentalno preveriti.

Po drugi strani je pa tudi res, da temelji teorija relativnosti na eksperimentalno dobro preverjenih postulatih in da so izreki iz njih, tako vsaj kaže, računsko pravilni. To nam daje pravico, da jih privzamemo za pravilne, dokler jih, morda, verodostojni eksperimenti ne ovržejo. □

M. Divjak