Naprej Skozi grede > Ustvarjanje znanosti

38

Elektromagnetni valovi

Elektromagnetno poljeElektromagnetni valoviRavno valovanjeStojno valovanjeEnergija valovanjaValovni potencialiDipolno sevanjeValovanje v snoviValovanje v dielektrikuValovanje v prevodnikuVpad na dielektrikVpad na prevodnikEliptična polarizacijaUklon na ovirah

Elektromagnetno polje

Mirujoči naboji so obdani s statičnim električnim poljem in stacionarni tokovi so obdani s statičnim magnetnim poljem. Elektrostatično in magnetostatično polje sta med seboj povsem neodvisna. Vemo pa, da se lahko naboji gibljejo in tokovi spreminjajo. Pridružena polja potem niso več statična, ampak se spreminjajo s časom. To so polja, ki jih hočemo sedaj raziskati.

Ohranitev nabojev

Kakorkoli se naboji in tokovi že spreminjajo, vedno velja zakon o ohranitvi naboja. Zapišemo ga s kontinuitetno enačbo

(38.1)

· j = −

ρ

t

.

Ohranitev pretokov

Naboji so izvori in ponori električnih pretokov. Upravičeno se zdi predpostaviti, da se tudi pretoki ohranjajo, to je, da zakon o električnem pretoku (37.8) velja celo za naboje, ki se gibljejo. Podobno predpostavimo tudi za zakon o magnetnem pretoku (37.34). Postuliramo torej

(38.2)

· E =

ρ

ε0

· B = 0 .

Indukcija električnega polja

V spremenljivem magnetnem polju se, kot vemo, pojavlja električno polje, kakor ga zaznamo z indukcijsko tuljavo in priključenim balističnim galvanometrom. Zakon o dinamični indukciji pove U dt = −S ΔB. Za majhno zanko v homogenem polju zapišemo odvisnost električnega polja od (lokalne) spremembe magnetnega polja takole: Es/S = −ΔBt oziroma v vektorski obliki

(38.3)

× E = −

B

t

.

Indukcija magnetnega polja

Vsako magnetno polje je, kakor vemo, povezano z lokalnim tokom: × B = μ0j. Če izračunamo divergenco te enačbe, vidimo, da je divergenca toka enaka divergenci rotorja polja; ta pa je za vsako polje enaka nič: · j = 0. Torej bi moral biti tok I skozi vsako zaprto ploskev enak nič. To pa gotovo ne more biti res, saj vemo, da lahko naboje kopičimo, na primer na eni plošči kondenzatorja. Enačba za rotor magnetnega polja zato ne more biti popolna; manjka ji člen, ki bi zagotovil, da se bo divergenca enačbe reducirala v kontinuitetno enačbo, torej × B = μ0j + [missing].

Kaj naj bi bil manjkajoči člen? Vsekakor mora zanj veljati · [missing] = μ0ρ/∂t. Gostoto naboja izrazimo iz električne divergenčne enačbe: ρ = ε0 · E, zato ρ/∂t = ∂/∂t (ε0 · E) = · (ε0E/∂t). Iskani člen je potemtakem [missing] = μ0ε0E/∂t, torej

(38.4)

× B = μ0j + μ0ε0

E

t

.

[Premikalni tok] Slika 38.1.
Praznjenje kondenzatorja skozi upor. Magnetna cirkulacija po zanki ∂S je enaka ne glede na to, ali jo računamo iz toka I, ki prebada ploskev S1, ali iz "premikalnega toka" ε0E/∂t, ki prebada ploskev S2.

Osnovne enačbe polja

S tem je zaključen nabor štirih osnovnih enačb elektrodinamike, ki popolnoma opisujejo električno in magnetno polje: njuno povezanost z izvori ter njuno medsebojno odvisnost. Te enačbe so: dve divergentni (38.2) in dve rotorski (38.3) (38.4). V stacionarnih razmerah se enačbe reducirajo na dva medsebojno neodvisna para: za elektrostatiko in za magnetostatiko. Kontinuitetna enačba ni neodvisna, ampak sledi iz četverice osnovnih enačb.

Kaj pravzaprav pravijo osnovne enačbe? Tole: (i) V prostoru obstajajo električna in magnetna polja. (ii) Izvor električnih polj so naboji in spremenljiva magnetna polja. (iii) Izvor magnetnih polj so tokovi in spremenljiva električna polja. (iv) Električno in magnetno polje sta dva obraza istega, elektromagnetnega polja.

Osnovne enačbe elektrodinamike so posplošitve naših dosedanjih spoznanj o električnih in magnetnih poljih. Ne moremo jih izpeljati iz kakšnih drugih enačb; če bi jih lahko, ne bi bile več osnovne. Ali so pravilne ali ne, pa bomo sklepali na podlagi posledic, ki iz njih sledijo.

Elektromagnetni valovi

Osnovne enačbe v vakuumu

Za preučevanje elektromagnetnega polja so najpreprostejše razmere v vakuumu, kjer ni nabojev in tokov. Tam se osnovne enačbe glasijo:

(38.5)

· E = 0
· B = 0
× E = −

B

t

× B = ε0μ0

E

t

.

Valovne enačbe

Na tretjo enačbo delujemo z rotorjem ×. Na levi strani dobimo rotor rotorja, kar zapišemo kot × ( × E) = · ( · E) − 2E, pri čemer je člen z divergenco enak nič. Na desni strani zamenjamo vrstni red odvajanja × ∂B/∂t = ∂/∂t ( × B) in upoštevamo × B = ε0μ0E/∂t. Tako dobimo enačbo

(38.6)

2Eε0μ0

2E

t2

= 0 .

Podobno obdelamo četrto enačbo in dobimo

(38.7)

2Bε0μ0

2B

t2

= 0 .

Obe enačbi imata enako obliko. Opisujeta, kako se elektromagnetna motnja v vakuumu spreminja s časom. Očitno igra pri tem pomemebno vlogo produkt električne in magnetne konstante. Da so enote v prostorskem in časovnem členu enake, mora imeti recipročna vrednost tega produkta enoto hitrosti na kvadrat, kar tudi drži. Zato definiramo novo konstanto

(38.8)

c2 =

1

ε0μ0

.

Vstavimo številske vrednosti in dobimo c = 3,00 · 108 m/s. Izjemno presenečenje! Saj to je vendar hitrost svetlobe, kakor smo jo svoj čas izmerili! To ne more biti naključje. Sklepamo, da je (i) svetloba elektromagnetno valovanje takšnih valovnih dolžin, ki jih vidimo, in da (ii) zapisani enačbi opisujeta elektromagnetne valove različnih vrst. Zato ju poimenujemo valovni enačbi.

Njihove rešitve

V eni dimenziji se vsaka posamična komponenta valovnih enačb – označimo jo z u – zapiše v obliki

(38.9)

2u

x2

=

1

c2

2u

t2

.

Če takšna enačba res opisuje valovanje, mora veljati tudi za ravne valove u = u0 exp ik(xct), k = 2π/λ. Argument lahko zapišemo v priročnejši obliki k(xct) = kxωt, kjer ω = ck. Vstavitev v valovno enačbo potrdi domnevo. Pa ne samo to: rešitev valovne enačbe je tudi vsota dveh ali več ravnih valov različnih valovnih dolžin, ki se vsi gibljejo z isto hitrostjo. Iz množice takih valov lahko sestavimo poljubno funkcijo u1(xct). To je hrib poljubne začetne oblike u1(x, 0), ki drsi, ne da bi spreminjal svojo obliko, vzdolž koordinatne osi s hitrostjo c.

[Valovni hrib] Slika 38.2.
Gibanje valovne motnje.

Druga taka funkcija je u2(x + ct), torej hrib drugačne oblike, ki se giblje v nasprotni smeri. Splošna rešitev valovne enačbe je vsota obeh:

(38.10)

u = u1(xct) + u2(x + ct) .

Ravno valovanje

Ravno valovanje hočemo sedaj podrobneje preučiti. Naj potuje valovanje v smeri enotnega vektorja n; potem zapišemo

(38.11)

E = E0 ei(k · rωt)
B = B0 ei(k · rωt) ,

pri čemer k = kn. Kaj o teh dveh nastavkih povedo divergenčne in rotorske enačbe?

Pravokotnost E in B

Nastavek za E vstavimo v divergenčno enačbo · E = 0, računamo po komponentah in dobimo i E0 · k = 0, to je E · n = 0. Vektor električne poljske jakosti je torej pravokoten na smer gibanja valovanja. Podobno ugotovimo za magnetno poljsko jakost: B · n = 0. Tudi vektor magnetne poljske jakosti je pravokoten na smer gibanja valovanja.

Povezava E in B

Nastavka za E in B vstavimo še v rotorsko enačbo × B = −(1/c2)∂E/∂t, računamo po komponentah in dobimo ik × B = −iE0ω / c2. Ker ω = kc, dobimo

(38.12)

E = cB × n .

Vektorja E in B sta torej med seboj pravokotna. Ker |n| = 1 in BE, velja |E| = |cB|, to je

(38.13)

E = cB .

V ravnem valovanju torej nihata električna in magnetna poljska jakost sočasno: kjer je vozel prve, je tudi vozel druge, in kjer ima maksimum prva, ga ima tudi druga. Električni poljski jakosti 1 V/m je pri tem pridružena magnetna poljska jakost 10−9 Vs/m2.

[Ravni val] Slika 38.3.
Ravni elektromagnetni val. (Anon.)

Stojno valovanje

Amplitudna enačba

Ravni valovi so rešitev valovne enačbe v neomejenem prostoru. Kakšne pa so njene rešitve v omejenem prostoru, recimo v zaprti kovinski škatli? Omejimo se le na take rešitve, pri katerih električno polje v vseh točkah niha sinhrono, torej

(38.14)

E = E0(r) e−iωt .

Valovna enačba se v tem primeru poenostavi v amplitudno enačbo

(38.15)

2 E0 = −k2E0
k2 = ω2/c2 .

Amplitude E0 stojnih valovanj so seveda odvisne od oblike resonantne škatle. Podobna enačba velja tudi za magnetno polje.

Mejni pogoji

Električno in magnetno polje na meji s prevodnikom ne moreta biti poljubna. V prevodniku se namreč naboji hipno prerazporejajo tako, da v njem ni električnega in magnetnega polja. — Mejo objamemo s tanko pravokotno zanko. Cirkulacija E po zanki je enaka spremembi pretoka B skoznjo. Ker lahko naredimo zanko zelo ozko, je sprememba pretoka skoznjo nič, torej E(1)lE(2)l = 0. V prevodniku je E(2) = 0, zato na meji velja robni pogoj E = 0. Mejo objamemo še s plitvo pravokotno škatlo. Divergenca B skoznjo mora biti enaka nič, torej B(1)SB(2) = 0. V prevodniku je B(2) = 0, zat na meji velja robni pogoj B = 0.

Kvadratni resonator

Najpreprostejši resonator je kvadratna škatla x ∈ [0, a], y ∈ [0, b], z ∈ [0, h]. Poglejmo, če obstajajo taki valovi, pri katerih je E0 usmerjena vzdolž osi z in neodvisna od z, torej E0 = (0, 0, Ez (x, y)). Zaradi kratkosti bomo namesto Ez zanaprej pisali kar E. Amplitudno enačbo zapišemo v kartezičnih koordinatah

(38.16)

2E

x2

+

2E

dy2

+ k2E = 0 .

Rešitev iščemo z nastavkom E(x, y) = X(x)Y(y). Dobimo X"/X + Y"/Y = −k2. To je možno le, če je vsak izmed obeh členov enak konstanti: X"/X = −kx2 in Y"/Y = −ky2, pri čemer kx2 + ky2 = k2. Rešitvi teh dveh enačb sta sinus ali kosinus. Da zadostimo pogoju na mejah x = 0 in y = 0, izberemo sin kxx in sin kyy. Da zadostimo še pogoju na mejah x = a in y = b, pa postavimo kx = mπ/a in ky = nπ/b, m, n = 1, 2, 3 …. Iskane rešitve so torej

(38.17)

Emn = sin

mπx

a

sin

nπy

b

,

Katerakoli izmed teh rešitev, recimo E11, je dobra, prav tako pa katerakoli njihova linearna kombinacija, recimo A · E11 + B · E12. Frekvenca nihanja znaša

(38.18)

ω2

c2

= (

mπ

a

)2 + (

nπ

b

)2 .

Ustrezno magnetno polje dobimo iz rotorske enačbe 2 E0 = iωB0. Neposredni račun pove Bx = (iky/ω) sin kxx cos kyy in By = −(ikx/ω) cos kxx sin kyy. Imaginarni faktor i pove, da magnetno nihanje kasni za električnim za π/2. Polji E in B sta med seboj pravokotni, kar potrdimo z izračunom E · B = 0.

[Stojno valovanje] Slika 38.4.
Stojno elektromagnetno valovanje E11 v kvadratnem resonatorju. Električne silnice so navpične, magnetne so krožne. (Anon.)

Cilindrični resonator

Kaj pa cilindrična votlina ρ ∈ [0, a], φ ∈ [0, 2π], z ∈ [0,h]? Spet iščimo polje, v katerem je E0 usmerjena vzdolž osi z in neodvisna od z, torej Ez (ρ, φ) ali krajše kar E. Amplitudno enačbo potem zapišemo v cilindričnih koordinatah kot

(38.19)

1

ρ

ρ

(ρ

E

ρ

) +

1

ρ2

2E

φ2

+ k2E = 0 .

Izberemo nastavek E = R(ρ)Φ(φ) ter ga vstavimo vanjo. Če dobljeno enačbo pomnožimo še z ρ2, postane njen drugi člen (1/Φ)d2Φ/dφ2, torej neodvisen od ρ, zato mora biti enak konstanti, ki jo zapišemo kot −n2. Tako dobimo dve ločeni enačbi:

(38.20)

ρ

d

dρ

(ρ

dR

dρ

) + [(kρ)2n2]R = 0

d2Φ

dφ2

+ n2Φ = 0 .

Rešitev druge enačbe je sinus ali kosinus argumenta nφ. Zanj moramo upoštevati periodični mejni pogoj Φ(φ) = Φ(φ + 2π), kar pomeni, da mora biti n celo število 0, 1, 2, 3 … in

(38.21)

Φ(φ) = cos nφ .

Prvo enačbo polepšamo z vpeljavo spremenljivke kρ = t v obliko t2R" + tR' + [t2n2] = 0. Rešitev iščemo z nastavkom v obliki potenčne vrste R(t) = tnj cjtj. Vstavimo ga v enačbo in dobimo j (n + j)2 cj tn + j + [t2n2] ∑j cj tn + j = 0. Koeficiente cj moramo zdaj tako izbrati, da bo enačba veljala. S precej truda najdemo

(38.22)

R(kρ) =

j

(−1)j

j!(n + j)!

(

kρ

2

)2j + n = Jn(kρ) .

Funkcije J0, J1 … poimenujemo cilindrične funkcije.

[Cilindrične funkcije] Slika 38.5.
Cilindrične funkcije. Kot rešitve amplitudne enačbe v cilindričnih koordinatah jih je prvi izračunal F. Bessel. (Vir.)

Na robu mora biti vsaka cilindrična funkcija enaka nič. Za funkcijo Jn moramo zato izbrati takšne vrednosti knm, m = 1, 2, 3 …, da Jn(knma) = 0. Funkcija J0, na primer, ima prvo ničlo pri 2,4, zato mora biti k01 = 2,4/a. Iskana stojna valovanja v cilindrični votlini so torej

(38.23)

Enm = Jn(knmρ) cos nφ .

Seveda je rešitev tudi katerakoli njihova linearna kombinacija. Frekvence nihanja pa so ω2 / c2 = knm2. Ustrezno magnetno polje dobimo iz rotorske enačbe 2E0 = iωB0. Neposredni račun pove Bρ = (in/ωρ) Jn(knmρ) sin nφ in Bφ = (−i/ω) (dJn/dρ) cos nφ. Magnetno polje je spet pravokotno na električnega in kasni za π/2.

[Stojno valovanje] Slika 38.6.
Stojno elektomagnetno valovanje E01 v cilindričnem resonatorju. Električne silnice so navpične, magnetne so krožne. (Anon.)

Energija valovanja

Elektromagnetno polje deluje na naboje in jih premika. Če se naboj pospešuje, prejema od polja delo. Če naboj zavira, pa delo oddaja. Delo toka na časovno in prostorninsko enoto znaša P/V = UI/Sl = jE.

Ohranitev energije

Iz osnovnih enačb hočemo izluščiti, kako je j · E povezan s polji. (i) Gostota toka nastopa v magnetni rotorski enačbi. Skalarno jo pomnožimo z E/μ0, da dobimo j · E = ε0EE' − (1/μ0)E · × B = 0. (ii) Električno rotorsko enačbo pomnožimo z B/μ0, da dobimo BB'/μ0 + (1/μ0) B · × E = 0. (iii) Obe enačbi seštejemo in dobimo j · E + ε0EE' + BB'/μ0 + (1/μ0)(B · × EE · × B) = 0. (iv) Prvi člen je iskano delo. (v) Drugi in tretji člen, ki vsebujeta časovne odvode polj, zapišemo skupaj kot ∂/∂t (ε0E2/2 + B2/2μ0). Izraz v oklepaju je gostota energije polja w. (vi) Zadnji člen, ki vsebuje rotorje polj, zapišemo kot · (1/μ0)(E × B). Izraz v oklepaju je gostota energijskega toka jem. (vii) Dobili smo torej energijski zakon

(38.24)

w

t

= − · jemj · E
w =

ε0

2

E2 +

1

2μ0

B2
jem =

1

μ0

E × B .

Energija polja se torej po prostoru raznaša z valovi. Lokalna sprememba gostote energije gre na račun energijskega pritoka/odtoka zaradi valov in na račun kinetične energije nabojev. Če se nosilci nabojev gibljejo v snovi z uporom, pridobi snov notranjo energijo.

Energija pri ravnem valovanju

Pri ravnem valovanju je gostota energije w = (ε0/2)E2 + (1/2μ0)B2 = ε0E2, ker B = E/c. V vsaki točki prostora ta gostota niha. Kakšna je njene povprečna vrednost? Ker E2〉 = (2/π)∫0π/2E02 cos2 ωt dωt = E0/2, velja

(38.25)

w〉 =

ε0

2

E02 =

1

2μ0

B02 .

Gostota energijskega toka znaša jem = (1/μ0)EB = ε0cE2, torej

(38.26)

jem〉 = cw〉 .

Sončna svetloba, ki vpada na Zemljo, nosi gostoto energijskega toka jem〉 ∼ 1 kW/m2. To pomeni, da je v njej gostota energije w〉 ∼ 10−6 J/m3 in amplitudi elektromagnetnega polja E0 ∼ 103 V/m ter B0 ∼ 10−6 Vs/m2.

Valovni potenciali

Statično električno in statično magnetno polje smo opisali z električnim in magnetnim potencialom. Poskusimo s tema potencialoma opisati še spremenljivo elektromagnetno polje. Kot izhodišče služijo popolne osnovne enačbe elektrodinamike, ki vključujejo naboje in tokove.

Razklopitev osnovnih enačb

Najpreprostejše izmed osnovnih enačb je magnetna divergenčna enačba · B = 0. Ker je divergenca vsakega rotorja enaka nič, lahko zapišemo:

(38.27)

B = × A .

Polje B nastopa tudi v električni rotorski enačbi × E + ∂B/∂t = 0. Nadomestimo ga z (38.27), zamenjamo vrstni red odvajanja po času in prostoru ter dobimo × (E + ∂A/∂t) = 0. Ker je rotor vsakega gradienta enak nič, lahko izraz v oklepaju zapišemo kot U in dobimo:

(38.28)

E = −U

A

t

.

V električni divergenčni enačbi · E = ρ/ε0 nadomestimo E z (38.28) in dobimo (1): 2U − ∂/∂t · A = ρ/ε0.

Preostane še magnetna rotorska enačba × B = μ0j + (1/c2)∂E/∂t. Nadomestimo B z (38.27) in E z (38.28), upoštevamo obrazec za dvojni vektorski produkt in dobimo (2): 2A + · ( · A) + (1/c2)∂/∂t U + (1/c2)∂2A/∂t2 = μ0j.

V enačbi (2) lahko izberemo poljuben · A. Vemo namreč, da je rotor nedoločen do aditivnega gradienta: × (A + φ) = × A + × φ = × A. Pri tem je φ poljubno skalarno polje, torej tudi φ = · A. Izberemo · A = −(1/c2)∂U/∂t, se tako iznebimo dveh členov in dobimo

(38.29)

2A

1

c2

2A

t2

= −μ0j .

Ista izbira za · A, postavljena v (1), pa pove

(38.30)

2U

1

c2

2U

t2

= −

ρ

ε0

.

Dobili smo dve valovni enačbi za električni in magnetni potencial. Vse spremenljivke so lepo ločene. Če so razmere stacionarne, odpadeta oba člena s časovnima odvodoma in enačbe preidejo v že znane potencialne enačbe, kakor tudi mora biti.

Zakasnjeni potenciali

Pri statičnih poljih je njihova jakost v opazovani točki popolnoma določena z naboji in tokovi po vsem prostoru. Domnevamo, da je pri spremenljivih poljih podobno, le da na vrednost polja v izbrani točki ob času t vplivajo naboji in tokovi z razdalj r ob ustrezno zakasnjenih časih tr/c. Saj se elektromagnetni vplivi širijo s končno hitrostjo. To je drzna, a plavzibilna domneva. Poskusimo jo dvigniti na raven izreka, to je, izpeljati jo iz znanih enačb.

V izhodišču koordinatnega sistema si mislimo točkast naboj de(t), ki spreminja jakost, a se ne giblje. V izhodišču velja valovna enačba 2U − (1/c2)∂2U/∂t2 = −(de/dV)/ε0. Zunaj izhodišča je desna stran enaka nič.

Pričakujemo krogelno simetrično rešitev, zato krajevni člen zapišemo v krogelnih koordinatah: 2U = (1/r2)∂/∂r (r2U/∂r). Vpeljemo substitucijo U = u(r)/r in – s postopnim odvajanjem od znotraj navzven – izračunamo 2U = (1/r)∂2u/∂r2. Namesto u zapišemo nazaj Ur in tako pridelamo valovno enačbo v obliki 2Ur/∂r2 − (1/c2)∂2Ur/∂t2 = 0.

Dobljena enačba ni nič drugega kot enodimenzionalna valovna enačba za spremenljivko Ur, katere splošno rešitev že poznamo. Tako lahko zapišemo U(r,t) = f(tr/c)/r + g(t + r/c)/r. To sta dva krogelna vala, od katerih se prvi giblje navzven in drugi navznoter. Slednjega iz rešitve izpustimo, ker nas zanima, kako naboj dela valove in ne, kako od zunaj prihajajoči valovi vplivajo na naboj.

V bližini izhodišča je časovna zakasnitev zanemarljiva: U(t) = f(tr/c)/rf(t)/r. Polje se spreminja sinhrono z nabojem. Za takšno polje velja "statična" rešitev U(t) = f(t)/r = de(t)/4πε0r. Nebližnje polje točkastega naboja, ki ima bližnje polje za limito, je zato U(t) = de(tr/c)/4πε0r. Poljubno porazdeljeni naboji pa tvorijo v opazovani točki P superpozicijo

(38.31)

UP(t) =

1

ε0

ρQ(trQP / c) dVQ

rQP

.

Podobno ugotovimo še

(38.32)

AP(t) =

μ0

jQ(trQP / c) dVQ

rQP

.

Domneva je bila pravilna: polje je res opisano z zakasnjenimi potenciali.

Dipolno sevanje

Mirujoč električni dipolni oblak je obdan s statičnim električnim poljem. Če se električni moment oblaka spremeni, se spremeni tudi okolišnje električno polje, spremenljivo polje ustvari magnetno polje in tako naprej. Spremenljivi dipol torej okrog sebe ustvarja elektromagnetno polje. Kakšno je?

Spremenljivi dipol

Naj bo dipolni oblak v izhodišču koordinatnega sistema. Zanima nas polje v točki R iz izhodišča; proti tej točki naj kaže enotni vektor n. Označimo lokacijo vsakega nabojnega elementa z d in oddaljenost od njega do opazovane točke z r. Naj bo opazovana točka daleč proč. Potem velja rRn · d.

Zakasnjeni potencial U(t) v opazovani točki je sorazmeren s prostorskim integralom ρ(tR/c+n · d/c)/r. Aproksimiramo rR in ga izvlečemo iz integrala, zanemarimo n · d v primerjavi z R in dobimo prostorski integral ρ(tR/c). Ker je oblak nevtralen, je ta integral enak nič. Torej je (1): U(t) = 0.

Podobno obravnavamo zakasnjeni potencial A(t) in pridelamo prostorski integral j(tR/c). Upoštevamo jdV = ev = d/dted = pe', pa dobimo (2): A(t) = pe'/4πε0c2R.

Iz (1) in (2) sledi, ob uporabi E = −U − ∂A/dt, za magnetno polje okoli spreminjajočega se dipola

(38.33)

B =

pe" × n

ε0c3R

.

Drugi odvod električnega momenta je treba seveda upoštevati ob času tR/c. Električno polje je povezano z magnetnim kakor pri ravnem valovanju.

[Dipolno sevanje] Slika 38.7.
Dipolno sevanje. Prikazano je polje E in B ob času t in vzročna sprememba dipola p" ob prejšnjem času tR/c.

Če usmerimo os z koordinatnega sistema vzdolž vektorja pe", velja:

(38.34)

B =

pe" sin θ

ε0c3R

.

Gostota energijskega toka jem = ε0c2EB znaša

(38.35)

jem =

(pe" sin θ)2

16π2ε0c3 R2

in izsevana moč P = ∮ jem dS skozi obdajajočo kroglo

(38.36)

P =

pe"2

ε0c3

.

Nihajoči dipol

Svetloba je elektromagnetno valovanje in sevajo jo "vroči" atomi. Sklepamo, da so sevajoči atomi pravzaprav električni dipoli, ki nihajo z različnimi frekvencami. Za nihajoč dipol pe = p0 cos ωt izračunamo moč sevanja

(38.37)

P =

p02ω4 cos2 ωt

ε0c3

in povprečno moč (povprečje kvadrata kosinusa preko enega nihaja je 1/2)

(38.38)

P〉 =

p02ω4

12πε0c3

.

Sevanje ni izotropno, ampak je svetilnost I = dP/dΩ = jemR2 odvisna od polarnega kota:

(38.39)

I〉 =

3

2

P

sin2 θ .

Modro nebo

Bela sončna svetloba je mešanica elektromagnetnih valov z različnimi frekvencami/barvami. Ko valovi vpadajo v ozračje, se v plinskih molekulah (večinoma dušika in kisika) influencirajo električni dipoli in zanihajo. S tem začno sami sevati na vse strani; rečemo, da se je vpadna svetloba sipala na molekulah. Dipoli nihajo vsiljeno z isto frekvenco kot vpadajoča svetloba. Čim krajša je valovna dolžina svetlobe, tem močnejše je sipanje. Modra svetloba se sipa močneje kot rdeča: zato je nebo modro. Zvečer, ko je Sonce nizko nad obzorjem in je zato pot žarkov skozi ozračje dolga in sipanje veliko, pa je zahodno nebo bolj ali manj rdeče. Iz bele sončne svetlobe so se izsipale modre sestavine in preostal je višek rdečih. Če Zemlja ne bi imela ozračja, bi bilo nebo črno in podnevi bi videli zvezde. Tako mora biti na Mesecu.

Zakaj pa so potem oblaki beli? Saj se svetloba vendar sipa tudi na kapljicah! In zakaj sploh vidimo kapljice, ko pa vodne pare, iz katere kapljice nastanejo, ne vidimo? Valovna dolžina vidne svetlobe je nekaj tisočkrat večja, kot je premer atomov. Zato molekula vode čuti homogeno nihajoče električno polje. Če se združi N molekul, nihajo sinhrono. Amplituda nihanja se poveča za N-krat, gostota sevanja pa za N2-krat. Kapljica postane vidna. Vendar pa kvadratno naraščanje ne traja v nedogled. Ko postane premer kapljice primerljiv z valovno dolžino svetlobe, nihajo molekule z medsebojnim faznim zamikom in začno interferirati destruktivno. Za modro svetlobo je ta meja dosežena že pri majhnih, za rdečo pa pri večjih kapljicah. Rdeče sipanje je zato močnejše od modrega in ga preglasi. Modra barva izgine in oblak postane bel.

Valovanje v snovi

Osnovne enačbe v snovi

Čas je, da pogledamo, kakšen je medsebojni vpliv elektromagnetnega polja in snovi. Vemo že, da statično električno polje snov polarizira, pri čemer se v njej pojavijo vezani naboji. Statično magnetno polje pa snov magnetizira, pri čemer se pojavijo vezani tokovi. Pri spremenljivih poljih vse to obvelja. Upoštevati pa moramo, da spremenljiva polarizacija doprinaša še dodaten tok. Tako zapišemo celoten naboj ρ = ρfree · P in celoten tok j = jfree + × M + P'. Ta naboj in tok vstavimo v osnovne enačbe elektrodinamike in zlahka dobimo

(38.40)

· (E +

P

ε0

) =

ρfree

ε0

· B = 0
× E = −

B

t

× (Bμ0M) = μ0jfree +

1

c2

t

(E +

P

ε0

) .

Linearna snov

Z znanima aproksimacijama za linearno snov E + P/ε0 = εE in Bμ0M = B/μ pa dobimo

(38.41)

· εE =

ρfree

ε0

· B = 0
× E = −

B

t

×

B

μ

= μ0jfree +

1

c2

εE

t

.

Pričakujemo, da sta dielektričnost ε in permeabilnost μ odvisna od frekvence valovanja. V prevodnikih moramo upoštevati še dodatno povezavo j = σE.

Mejni pogoji

Zapisane enačbe veljajo tako za homogeno kot za heterogeno snov, to je, dielektričnost in permeabilnost sta lahko funkciji kraja. Na zunanjih mejah obravnavanega telesa ali na notranjih mejah med dvema telesoma pričakujemo ustrezne robne pogoje. Poskusimo jih določiti.

Mejo med snovjo (1) in (2), na kateri ni prostih nabojev in tokov, zapremo v nizko škatlo. Pretočni enačbi B · dS = 0 in εE · dS = 0 povesta

(38.42)

B (1) = B (2)
ε1E (1) = ε2E (2) .

Mejo zaprimo še v ozko zanko. Ker je zanka ozka, velja B' · dS → 0 in E' · dS → 0. Cirkulacijski enačbi E · ds = 0 in B/μ · ds = 0 potem povesta

(38.43)

E (1) = E (2)
B (1)/μ1 = B (2)/μ2 .

Pri prehodu iz ene snovi v drugo se torej ne spremenita normalna magnetna komponenta in tangentna električna komponenta polja. Ostali dve komponenti doživita skokovito spremembo.

Valovanje v dielektriku

Hitrost valovanja

Pomemeben primer valovanja v snovi je valovanje v neomejenem homogenem izolatorju, kjer ni prostih nabojev in tokov, recimo v vodi. V osnovnih enačbah zato postavimo ustrezne člene na nič. Ker sta dielektričnost in permeabilnost konstanti, ju izpostavimo pred operatorje odvajanja po prostoru in času. Tako dobimo nabor štirih enačb: · E = 0 , · B = 0 , × E = −∂B/∂t in × B = (εμ/c2)∂E/∂t. Ta nabor je formalno identičen tistemu za prazen prostor, če označimo εμ/c2 = 1/v2. To pomeni, da je rešitev enačb ravno valovanje, ki se širi s hitrostjo

(38.44)

v =

c

εμ

.

Lom in dielektričnost

S hitrostjo valovanja je definiran lomni količnik snovi n = c/v, torej

(38.45)

n = √εμ .

Permeabilnost izolatorjev se ne razlikuje znatno od 1, zato n ≈ √ε. Tako smo odkrili še eno povezavo med elektromagnetizmom in svetlobo.

Eksperimentalni test

Lomni količnik in dielektričnost znamo meriti neoodvisno. Prva količina bi moral biti enaka korenu iz druge. Meritve pokažejo za zrak pri standardnih pogojih obakrat 1,0003, torej odlično ujemanje. Zelo dobro je nasploh ujemanje pri žlahtnih plinih, simetričnih dvoatomnih plinih (H2, O2, N2) in kovinskih parah. So pa tudi izjeme. Lomni količnik tekoče vode znaša 1,33, koren iz njene (statične) dielektričnosti pa kar 9. Razlaga je hitro pri roki. Molekula vode ima permanentni električni moment. Polje tako hitro niha, da mu molekularni dipoli ne uspejo slediti. Preden se povsem usmerijo v trenutno smer polja, se to že obrne v nasprotno smer.

Valovanje v prevodniku

Kaj pa valovanje v neomejenem homogenem prevodniku, to je v kovini s prostimi elektroni? Tam se lahko kopičijo prosti neto naboji in tečejo prosti tokovi. Privzamemo, da se morebitni neto naboji takoj razpršijo (zaradi odbijanja), to je, postavimo člen ρ/ε0 = 0. S tokovi pa ni tako. Člena μ0j ne smemo izničiti, ampak upoštevamo j = σE in dobimo naslednje štiri enačbe: · E = 0 , · B = 0 , × E = −∂B/∂t in × B = (εμ/c2)∂E/∂t + (σμ/ε0c2)E. Na električno rotorsko enačbo delujemo z rotorjem ×, na levi strani uporabimo obrazec za dvojni vektorski produkt in črtamo člen z električno divergenco, na desni strani zamenjamo vrstni red časovnega in prostorskega odvoda ter substituiramo × B iz magnetne rotorske enačbe. Tako dobimo (1): 2E (εμ/c2)∂2E/∂t2 (σμ/ε0c2)∂E/∂t = 0. To je valovna enačba z dodatnim členom.

Kompleksni lomni količnik

Enačbo (1) poskušamo rešiti v eni dimenziji z nastavkom E = E0 exp (ikxiωt). Vstavitev v reševano enačbo da povezavo k = (ω/c)√(εμ + iσμ/ε0ω). Upoštevamo, da so permeabilnosti enake 1 (razen pri redkih feromagnetikih) in dobimo

(38.46)

=

ω

c

ε̂
ε̂ = ε +

σ

ε0ω

i .

Pridelali smo kompleksni valovni vektor in, z definicijo, kompleksno dielektričnost. Po zgledu realnih količin definiramo še kompleksni lomni količnik

(38.47)

n̂ = √ε̂ .

Iz enačb ε̂ = ε' + ε" i in 2 = (n' + n" i)2 = (n'2n"2) + 2n'n" i razberemo ε' = n'2n"2 in ε" = 2n'n". K tema dvema enačbama obratni enačbi sta

(38.48)

n' = (

|ε̂| + ε'

2

)
n" = (

|ε̂| − ε'

2

) ,

Ekstinkcijski koeficient

kjer |ε̂| = √(ε'2 + ε"2). Kakšen pa je pomen realnega in imaginarnega dela lomnega količnika? Ker = (ω/c) = k0(n' + in"), je ob izbranem trenutku E ∝ exp (ikx) = exp (ik0n'x) · exp (−k0n"x). To je (zamrznjen) dušeni val s prostorsko frekvenco k0n' in eksponentno pojemajočo amplitudo. Energijski tok j ∝ |E|2 = exp (−2k0n"x) = exp (−βx) pojema eksponentno z razdaljo. Pri vpadu valovanja na prevodnik torej realni del lomnega količnika določa prostorsko frekvenco, to je, igra vlogo "navadnega" lomnega količnika. Imaginarni del pa določa koeficient dušenja. Zato zapišemo

(38.49)

n̂ = n +

βc

2ω

i = n + κi.

Imaginarni del lomnega količnik poimenujemo ekstinkcijski koeficient in ga označimo s κ. Kovine so za vidno svetlobo neprosojne, zato v njih ne moremo meriti niti loma niti dušenja. Kompleksni lomni količnik kovin zato ostaja do nadaljnjega nemerljiva količina.

Vpad na dielektrik

Odbojni zakon

Ravno valovanje naj vpada z leve proti desni na navpično mejo med dvema dielektrikoma. Namesto snovi je veljaven tudi vakuum. Meja naj leži pravokotno na os x koordinatnega sistema pri x = 0. Vpadno valovanje je u1 = A1 exp i(k1 · rω1t) in odbito valovanje u2 = A2 exp i(k2 · rω2t). Zahtevamo zveznost faze na mejni ploskvi v vsakem trenutku: k1 · rω1t = k2 · rω2t. Iz tega najprej sledi ω1 = ω2. Frekvenca odbitega valovanja je enaka kot frekvenca vpadnega valovanja, kakor tudi mora biti.

Za vsak vektor r, ki kaže na mejo, zahteva zveznost faze tudi k1 · r = k2 · r, torej (k1k2) · r = 0. To pomeni, da je k1k2 pravokoten na mejo oziroma (k1k2) × n = 0. Sledi k1 × nk2 × n = 0 oziroma k1 sin α1 = k2 sin α2. Ker potujeta vpadno in odbito valovanje po isti snovi, je k1 = k2, zato

(38.50)

α1 = α2 .

To je znani odbojni zakon. Odbiti kot je enak vpadnemu, kakor tudi mora biti. Ker c2 = ω2/k2 = ω1/k1, je seveda enaka tudi hitrost: c2 = c1.

Lomni zakon

Namesto odbitega valovanja glejmo sedaj prepuščeno valovanje. Označimo ga z indeksom 2. Razmišljanje je enako. Zveznost faze zahteva najprej ω1 = ω2. Prepuščeno valovanje ima isto frekvenco kot vpadno. Tako tudi mora biti. Druga zahteva, namreč k1 · r = k2 · r, pa vodi do k1 sin α1 = k2 sin α2. Upoštevamo k1 = ω1/c1 in k2 = ω2/c2 = ω1/c2, pa dobimo

(38.51)

sin α1

c1

=

sin α2

c2

.

To je znani lomni zakon: enačbo pomnožino s c in dobimo

(38.52)

n1 sin α1 = n2 sin α2 .

Prepuščeno valovanje je zlomljeno, kakor tudi mora biti. Kolikšen je lom, določata hitrosti valovanja v prvi in drugi snovi. Hitrost v snovi je zmanjšana za faktor n glede na hitrost v vakuumu. Za isti faktor je zmanjšana tudi valovna dolžina, saj ostaja frekvenca nespremenjena.

Odbojnost in prepustnost

Kolikšen delež energije pa se odbije oziroma prepusti skozi mejo? Naj bo električna poljska jakost vpadajoče svetlobe pravokotna na vpadno ravnino. Iz slike razberemo naslednje.

[Vpad na dielektrik] Slika 38.8.
Vpad svetlobe na dielektrik. Del svetlobe se odbije in del nadaljuje pot. Prikazan je ravni val, v katerem je električna poljska jakost pravokotna na vpadno ravnino.

Za vpadno svetlobo: Ey = A exp ik1s, Bx = (n1/c) A cos α exp ik1s, Bz = (n1/c) A sin α exp ik1s. Za odbito svetlobo: Ey = B exp ik1s1, Bx = −(n1/c) B cos α exp ik1s1 Bz = (n1/c) B sin α exp ik1s1. In za prepuščeno svetlobo: Ey = C exp ik2s2, Bx = (n2/c) C cos α2 exp ik2s2, Bz = (n2/c) C sin α2 exp ik2s2.

Komponenta Ey mora biti zvezna: A exp ik1s + B exp ik1s1 = C exp ik2s2, zato mora pri s1 = 0, s2 = 0 in s = 0 veljati (1): A + B = C.

Komponenta Bx mora tudi biti zvezna: (n1/c) A cos α − (n1/c) B cos α = (n2/c) C cos s2, torej (2): n1(AB) cos α = n2 C cos α2.

Iz enačbe (1) izrazimo C in ga vstavimo v enačbo (2). Iz tako dobljene enačbe izrazimo količnik B/A, to je, razmerje odbojne in vpadne amplitude, ter ga kvadriramo R = |B/C|2, da dobimo razmerje odbitega in vpadnega toka oziroma odbojnost

(38.53)

R = |

n1 cos αn2 cos α2)

n1 cos α + n2 cos α2

|2 .

Enačbo lahko polepšamo. Vanjo substituiramo n2 = n1 sin α/sin α2 ter z uporabo sinusa vsote oziroma razlike kotov dobimo

(38.54)

R = |

sin (αα2)

sin (α + α2)

|2 .

Podobno računamo za vpadajočo svetlobo, pri kateri je električna poljska jakost vzporedna z vpadno ravnino. Dobimo

(38.55)

R = |

n2 cos αn1 cos α2)

n2 cos α + n1 cos α2

|2

in

(38.56)

R = |

tan (αα2)

tan (α + α2)

|2 .

Vsota odbitega in prepuščenega toka je enaka vpadlemu toku, zato je z odbojnim količnikom podan tudi prepustni količnik oziroma prepustnost: R + T = 1 in R + T = 1.

[Odboj od dielektrika] Slika 38.9.
Izračunani odbojni količnik za steklo (n = 1.5). Odbojne in prepustne količnike za dielektrik je prvi določil A. Fresnel.

Sončna svetloba ni polarizirana, ampak je enakomerna mešanica raznosmerno polariziranih valov. Zanjo velja R = (R + R)/2 ter R + T = 1.

Pravokotni vpad

Pri pravokotnem vpadu, ko α = 0 in zato tudi α2 = 0, ni razlike med pravokotno in vzporedno usmerjenostjo električne jakosti, in odbojni količnik znaša

(38.57)

R = |

n1n2

n1 + n2

|2 .

Od vode se torej odbije le 2 % vpadle energije in od stekla 4 %. Na okenski šipi se odbija svetloba od obeh ploskev, torej skupaj okrog 8 %, če zanemerimo višje odboje.

Polarizacijski kot

Kadar α + α2 = 90° je tangens neskončen in R = 0. Pri katerem vpadnem kotu αB se to zgodi? Pri n1 sin αB = n2 sin (90° − αB) = n2 cos αB, torej pri

(38.58)

αB = atan

n2

n1

.

Poimenujemo ga polarizacijski kot. Za vodo znaša 53°. Vzporedno polarizirana svetloba, vpadajoča pod tem kotom, se nič ne odbije, ampak se le lomi. Če je vpadajoča svetloba poljubno polarizirana, se njena vzporedna komponenta nič ne odbije, preostane le pravokotna komponenta. Odbita svetloba je zato polarizirana v smeri pravokotno na vpadno ravnino. Slika Sonca na vodni gladini, ki je vidimo pod kotom 90° − 53° = 37° pod očesno vodoravnico, je popolnoma vodoravno polarizirana.

Vpad na prevodnik

Kaj pa vpad svetlobe iz dielektrika na prevodnik, recimo iz zraka na zglajeno srebrno ploščo? — Pri vpadu svetlobe na dielektrik smo upoštevali le, da je dielektričnost na obeh straneh meje različna. Nič nismo zahtevali, da je realna, čeravno smo samoumevno tako računali. Zato vse izpeljane enačbe valjajo v nespremenjeni obliki, če v njih nadomestiomo realne lomne količnike s kompleksnimi. Takšne pa imajo, kot vemo, prevodniki. Ugotovimo naslednje.

Odboj in lom

Odbojni zakon ostane nespremenjen.

Lomni zakon se v kompleksni podobi glasi:

(38.59)

2 sin α̂2 = n1 sin α1 .

S tem postane sinus lomnega kota kompleksna funkcija kompleksnega argumenta sin = (exp i − exp (−i))/2i. Podobno velja za kosinus: cos = (exp i + exp (−i))/2. Med seboj sta obe funkciji povezani sin2 + cos2 = 1. S to povezavo izluščimo iz lomnega zakona, da znaša kosinus lomnega kota

(38.60)

2 cos α̂2 = √(22n12 sin2 α1) .

Odbojnost in prepustnost

Enačbe za odbojne in prepustne količnike ostajajo nespremenjene, le da so v njih faktorji 2 in cos α̂2 kompleksni. Številske vrednosti R(α) in R(α) za dani snovi n1 in 2 zato izračunamo brez težav, pač po pravilih kompleksne aritmetike.

[Odboj od prevodnika] Slika 38.10.
Izračunani odbojni količnik za vpad svetlobe iz zraka (n = 1,0) na hipotetični prevodnik (n = 1,5 + 2,5 i).

Grafi kažejo, da prevodniki – zaradi velikega ekstinkcijskega koeficienta – močno odbijajo svetlobo pri vseh vpadnih kotih. Ne obstaja pa kot, pri katerem bi se odbojnost zmanjšala na nič. Namesto tega obstaja glavni kot, pri katerem ima odbojnost rahel minimum. Odboji od prevodnikov pri tem kotu zato niso znatno polarizirani. Vse to potrjujejo tudi eksperimenti z zglajenimi kovinami, recimo s srebrom ali z aluminijem.

Tudi enačba za odboj pri pravokotnem vpadu ostaja nespremenjena. Zaradi preproste oblike pa jo lahko zapišemo tudi eksplicitno z obema komponentama lomnega količnika:

(38.61)

R =

(n2n1)2 + κ22

(n2 + n1)2 + κ22

.

Enačba omogoča izračun ene izmed treh količin R, n2 in κ2, če sta drugi dve poznani. Če torej uspemo izmeriti ekstinkcijski koeficient merjenca, je z meritvijo odbojnosti določen tudi njegov lomni količnik.

Eliptična polarizacija

Pri vpadu na dielektrik se ⊥ polarizirani svetlobni valovi odbijejo zgolj kot ⊥ polarizirani in ∥ polarizirani zgolj kot ∥ polarizirani. Poševno polarizirani pa se odbijejo zgolj kot poševno polarizirani. Vse to ugotovimo z vrtečim se analizatorjem v izhodnem valovanju. Vedno namreč najdemo tak zasuk analizatorja, pri katerem ne prepušča nobene svetlobe: valovanje je tedaj polarizirano pravokotno na ta zasuk.

Valovna vijačnica

Pri prevodnikih je drugače. Kakorkoli že zasučemo analizator, vedno pokaže vsaj nekaj prepuščene svetlobe. To pomeni, da električna poljska jakost vzdolž valovanja ni vedno usmerjena v isto smer, ampak da se ji smer spreminja. Val ima zato podobo toge vijačnice, ki se premika naprej. V dani točki, skozi katero potuje val, pa se električna poljska jakost hitro vrti in s svojim vrhom zarisuje elipso. Rečemo, da je valovanje eliptično polarizirano. Njegov lokalni hodograf je elipsa.

[Eliptična polarizacija] Slika 38.11.
Eliptično polarizirana svetloba. (Anon.)

Fazni zamik komponent

Eliptično polarizirano valovanje opišemo kot vsoto dveh pravokotnih linearnih valovanj, od katerih je drugo zamaknjeno glede na prvega. Vrh drugega valovanja ne sovpada z vrhom prvega valovanja, marveč mu sledi (oziroma ga prehiteva) v razdalji l. Velja l/λ = δ/2π. Količina δ je fazni zamik valovanja. Če je fazni zamik med obema pravokotnima valovanjema enak nič, je sestavljeno valovanje linearno polarizirano. Njegov hodograf je neskončno ozka elipsa. Večji kot je fazni zamik, bolj debelo elipso določa. Če znaša fazni zamik π/2 in sta amplitudi obeh valovanj enaki, pa je valovanje polarizirano krožno. V odbiti svetlobi od prevodnika sta torej zmeraj prisotna ⊥ valovanje in ∥ valovanje in med seboj sta bolj ali manj fazno zamaknjena.

[Fazni zamik] Slika 38.12.
Eliptično polarizirana svetloba je vsota dveh linearno polariziranih valovanj, ki sta med seboj pravokotni in fazno zamaknjeni. (Anon.)

Fazno zamaknjeno linearno valovanje opišemo kot u = a cos i(kxωt + δ) oziroma v kompleksni obliki u = (a exp iδ) exp i(kxωt). To je ravno valovanje s kompleksno amplitudo = a exp iδ. Njena absolutna vrednost je enaka "pravi" amplitudi: || = a.

Elipsometrija

Razmerje kompleksnih amplitud odbitega ⊥ in ∥ valovanja je

(38.62)

= |

E

E

| eiδ = (

R

R

) eiδ = ρ e .

To razmerje lahko izračunamo na podoben način kot koeficient odbojnosti pri dielektriku. Dobimo

(38.63)

=

cos (α + α2)

cos (αα2)

.

Izenačimo desni strani obeh zapisanih enačb, upoštevamo obrazec za kosinus vsote oziroma razlike, izrazimo lomni kot z vpadnim preko lomnega zakona in izvlečemo lomni količnik:

(38.64)

2 = sin α (1 + (

1 − ρeiδ

1 + ρeiδ

)2 tan2 α) .

Pri glavnem kotu α = αm je fazna razlika δ = −π/2, torej exp (−iπ/2) = −i in enačba se poenostavi v

(38.65)

2 = sin αm (1 + (

1 + ρi

1 − ρi

)2 tan2 αm) .

Enačba omogoča izračun kompleksnega lomnega količnika, če izmerimo odbojnosti R in R pri glavnem vpadnem kotu, saj ρ = √(R/R). Tako količnike tudi udobno določamo. Za srebro, na primer, dobimo = 0,2 + 3,4 i in za aluminij = 1,4 + 5,2 i. Pri pravokotnem vpadu mora zato aluminij odbijati 83 % in srebro kar 94 % vpadle energije. Meritve oboje podpirajo.

Diskusija izmerkov

Preseneti nas, da je pri srebru (in še pri nekaterih drugih kovinah) realni lomni količnik za vidno svetlobo manjši od ena. To pomeni, da se ravni val v snovi giblje hitreje kot v praznem prostoru. Vemo pa, da se svetlobni signali ne morejo gibati hitreje od c. Kako si to razlagamo? — Lomni količnik pravi, s kakšno hitrostjo potujejo grebeni ravnega vala z dano frekvenco. Greben ravnega vala pa ni signal. Ravni val, ki je enakomerno prisoten povsod po preostoru in večno v času, nima nobene oprijemljive točke, ki bi služila kot signal. Da pošljemo signal, moramo val nekako označiti: mu lokalno spremeniti amplitudo ali frekvenco. S tem postane označeni val superpozicija več ravnih valov, od katerih se vsak lahko giblje s svojo hitrostjo. Hitrost signala potem ni odvisna od enega samega lomnega količnika, marveč od tega, kako se količnik spreminja s frekvenco. Domnevamo, da hitrost signala tako res ne presega c, čeravno posamični ravni valovi, ki signal sestavljajo, lahko potujejo hitreje.

Zanimiv je tudi imaginarni del lomnega količnika. Ta pove, kolikšna je vdorna globina svetlobe: 1/β = λ/4πκ. Za srebro znaša komaj 1/40 valovne dolžine vpadajoče svetlobe, torej kakšnih 100 atomov. Nič čudnega, da so kovine povsem neprozorne.

Uklon na ovirah

Valovanje, ki vpada na raven zaslon z odprtino, se za njim uklanja. Valovanje v izbrani točki za zaslonom je vsota krogelnih elementarnih valov iz vsake točke odprtine. Posebej preprost je uklon, pri katerem vpada ravno valovanje pravokotno na zaslon. Izvorna valovanja imajo tedaj povsod po odprtini enako amplitudo in enako fazo. Tedaj velja za "zamrznjeno" valovanje v točki P za oviro superpozicija uP ∝ ∫ dS exp (iks)/s, pri čemer je s razdalja od točkovnega izvora do opazovane točke. Če opazujemo uklonsko sliko daleč za zaslonom, je s približno konstanten in ga lahko izvlečemo izpod integrala. Tedaj velja

(38.66)

uP exp (iks) dS .

Izračunajmo uklonjene energijske tokove za mrežico iz tankih rež, za široko režo in za okroglo odprtino!

Mrežica tankih rež

Slika kaže, da moramo izračunati vsoto uP ∝ exp iks1 + exp ik(s1 + Δ) + exp ik(s1 + 2Δ) + … = exp iks1 · [1 + exp ikΔ + exp ik2Δ + … exp ik(N−1)Δ], pri čemer je Δ = a sin α.

[Mrežica iz rež] Slika 38.13.
Uklon na mrežici tankih rež na medsebojni razdalji a. Ravno valovanje vpada na mrežico pod pravim kotom. Opazujemo uklonjeno valovanje daleč proč pod različnimi koti α.

Računamo takole. V oklepaju je geometrična vsota, ki znaša (exp ikNΔ − 1) / (exp ikΔ − 1). Izračunamo uP uP*, upoštevamo identiteti exp iη + exp (−iη) = 2 cos η ter 1 − cos η = 2 sin2 η in dobimo w ∝ (sin 1/2NkΔ)2 / (sin 1/2kΔ)2. Limita sin Nη / sin η, ko η → 0, znaša N, zato lahko zapišemo

(38.67)

j(α) = j0 [

sin (1/2Nka sin α)

N sin (1/2ka sin α)

]2 .

S tem smo uklonjeni tok v smeri α normirali glede na uklonjeni tok pri α = 0. Maksimumi ležijo tam, kjer 1/2ka sin α = πa sin α / λ = 0, π , 2π …, torej kjer a sin α = n · λ, n = 0, 1, 2 … , kar že vemo.

[Uklon na mrežici rež] Slika 38.14.
Uklon valovanja za mrežico iz dveh rež (modro) in iz petih rež (rdeče). Prikazana je relativna gostota toka v odvisnosti od parametra D = π (a/λ) sin α.

Če so reže zelo ozke, so vsi maksimumi enako močni. Lega maksimumov je neodvisna od števila rež N. So pa maksimumi tem ožji, čim več je rež. Med dvema sosednjima maksimumoma leži N−2 majhnih sekundarnih maksimumov.

Široka reža

Široko režo si mislimo sestavljeno iz samih ozkih rež, ki se med seboj stikajo. Izračunati moramo uP ∝ ∫ dy exp (ik(s + Δs (y))), pri čemer Δs = y sin α.

[Široka reža] Slika 38.15.
Uklon na široki reži z debelino a. Okoliščine so enake kot pri mrežici.

Računamo takole. Ker exp (iks) ni odvisen od y, ga izpustimo in preostane ∫ dy exp (iky sin α) v mejah a/2. Diferencial zapišemo v obliki (1/k sin α) d(ky sin α), s čimer preide integral v obliko (1/k sin α) ∫ exp (−iη) dη v mejah ∓(a/2)k sin α. Izračunamo ∫ exp (−iη) dη = i exp (−iη), vstavimo meje, upoštevamo (exp (iη) − exp (−iη))/2i = sin η in dobimo uP ∝ sin (k sin α) / k sin α. Kvadriramo in upoštevamo, da sin η / η → 1, ko η → 0, pa lahko zapišemo

(38.68)

j(α) = j0[

sin (ka sin α)

ka sin α

]2 .

Sorazmernostna konstanta j0 je gostota toka na zaslonu pri uklonskem kotu α = 0. Prvi minimum je pri (2π / λ) a sin α = π, torej pri sin αα = 0,5 · λ/a. Za rdečo svetlobo in 1/4 mm široko režo znaša α = 0,1°. Med obema prvima minimumoma je torej kot 0,2°. Na meter oddaljenem zaslonu to znaša okrog 3 mm.

[Uklon na reži] Slika 38.16.
Uklon za široko režo. Prikazana je relativna gostota toka v odvisnosti od parametra D = 2π (a/λ) sin α.

Okrogla odprtina

Okroglo odprtino si mislimo razrezano v vodoravne in navpične trakove. Izračunati moramo uP ∝ ∫ exp (iks) dS = ∫ exp (ik(s + Δs)) dS ∫ exp (ikΔs) dS. Z upoštevanjem Δs = −x sin θ je torej pred nami dvojni integral

(38.69)

uP

+a

a

dy

+h(y)

h(y)

dx e−ikx sin θ .

[Uklon za luknjo] Slika 38.17.
Uklon za okroglo odprtino. Razmere so take, kot pri uklonu na široki reži.

Desni integral je enakega tipa kot pri reži in ga tako tudi izračunamo ter dobimo uP ∝ (1/sin θ) a+a dy · sin (k sin θ · h(y)). Upoštevamo y = a sin φ, h = a cos φ in dy = a cos φ dφ, s čimer dobimo

(38.70)

uP

1

sin θ

π/2

−π/2

sin (ka sin θ · cos φ) cos φ dφ .

Na prvi pogled integrala ne znamo izračunati. Lahko pa nanj pogledamo kot na funkcijo parametra η = ka sin θ. Definirajmo torej funkcijo J kot

(38.71)

J(η) =

1

π

π/2

−π/2

sin (η · cos φ) cos φ dφ .

V definicijo smo zaradi lepšega vključili "normalizacijski" faktor 1/π. — Ali lahko funkcijo J izračunamo? Podintegralsko funkcijo sin t, t = η cos φ razvijemo v potenčno vrsto tt3/3! + t5/5! − …. Tako pridelamo vsoto integralov oblike cos2n φ, ki jih znamo integrirati. Dobimo vrsto

(38.72)

J(η) =

n = 0

(−1)n

n!(n + 1)!

(

η

2

)2n + 1 .

To pa ni nič drugega kot že spoznana cilindrična funkcija J1! S funkcijo J1 zapišemo iskano amplitudo kot uP ∝ J1(ka sin θ)/sin θ, jo kvadriramo, upoštevamo J1(η)/η → 1/2, ko η → 0 (kar ugotovimo iz vrste), in končno pridelamo:

(38.73)

j(θ) = j0 [

2J1 (ka sin θ)

ka sin θ

]2 .

Sorazmernostna konstanta j0 je gostota toka na zaslonu pri θ = 0. Prvi minimum je pri (2π / λ) a sin θ = 3,8, torej pri sin αα = 0,61λ/a = 1,22 λ / 2a. Za rdečo svetlobo in 1/4 mm široko luknjo znaša θ = 0,2°. Prvi minimalni obroč je torej napet na kot 0,4°. Na meter oddaljenem zaslonu to znaša okrog 6 mm. To je nekaj več kot pri enako široki reži.

[Uklon za okroglo odprtino] Slika 38.18.
Uklon za okroglo odprtino. Prikazana je relativna gostota toka v odvisnosti od parametra D = 2π (a/λ) sin θ.

Ko z daljnogledom opazujemo zvezdo, se njena svetloba uklanja na okroglem objektivu premera 2a. V goriščni ravnini se tvori uklonska slika. Zvezda ni ostra, ampak razmazana v majhen disk. Če sta dve zvezdi blizu skupaj, se diska prekrivata in ju ne moremo razločevati. Najmanjša razdalja, ko ju še ločimo, je nekako tedaj, ko pade maksimum ene zvezde v prvi minimum druge. Kotna ločljivost daljnogleda je zato 1,22 λ / 2aλ / 2a, kakor smo svoj čas že ugotovili eksperimentalno. □

M. Divjak