Naprej Skozi grede > Ustvarjanje znanosti

8

Prostor

DolžinaPodobni trikotnikiPravokotni trikotnikKrog, lok in kotKotna razmerjaTriangulacijaSplošni trikotnikZemljemerstvoPloščinaProstorninaVelikost ZemljeDo nebesnih telesSončni sistem

Dolžina

Merjenje dolžine

Od dveh skupaj rastočih navpičnih dreves je eno krajše, daljše ali enako dolgo kot drugo. Ko kakšno drevo posekamo, pa se lahko vzdolž njega sprehodimo in pri tem štejemo korake. Tako njegovo dolžino l izmerimo. Merilna priprava so naše noge, dolžinska enota pa korak. Merimo tudi s čevlji, sežnji, lakti, pedmi in palci. Pri tem potiho privzamemo, da se uporabljana enota ne spreminja, ko jo premikamo z enega mesta drugam. Takšno merjenje povsem zadostuje lovcem in kmetovalcem.

Metrski etaloni

Z razvojem trgovine se pojavijo zahteve po uradni dolžinski enoti. Različne države izdelajo svoje etalone, to je trpežne palice izbrane dolžine, in jih shranijo v zakladnicah. Z njimi potem uradniki umerjajo druge merilne palice, metre. Tipični etalon je tako dolg kot vstran iztegnjena človeška roka od grodnice do konca prstov. Rekli bomo, da ima dolžino en meter (m).

Kratke dolžine merimo tako, da meter – kateregakoli pač že uporabljamo – razdelimo na 3 čevlje in čevelj na 12 palcev. Od daljših enot pa vpeljemo dvojni korak kot 5 čevljev in miljo kot 1000 dvojnih korakov.

Desetiška razdelba

Kmalu se pokaže, da je računanje z mešanimi dolžinskimi enotami nepregledno in težavno, zato raje razdelimo meter na 10 decimetrov (dm), 102 centimetrov (cm) ali 103 milimetrov (mm). Z njim tudi umerjamo daljše merilne vrvi. Razdaljo 103 metrov poimenujemo kilometer (km). Večkilometrske razdalje merimo tako, da namesto polaganja palic po tleh raje vozimo kolo z izmerjenim obsegom in štejemo obrate s primernim števcem. Tako je mnogo bolj udobno.

Če so desetiške enote res tako primerne za računanje, zakaj jih potem nismo vpeljali tudi za čas in kot? V glavnem zato, ker se je merjenje časa in kotov začelo, še preden se je razvil decimalni zapis ulomkov, kasneje pa je bilo zatečeno stanje težko spremeniti. Bili so sicer poskusi, da bi dan razdelili na 10 ur, uro na 100 minut in minuto na 100 sekund, ter da bi četrtino kroga razdelili na 100 stopinj, vendar se žal niso uveljavili.

Podobni trikotniki

Dolžina sence

Navpično drevo in navpični gnomon hkrati mečeta po vodoravnih tleh vsak svojo senco. Drevo je višje od gnomona in meče daljšo senco. Ker so sončni žarki, ki obe senci rišejo, med seboj vzporedni, meče dvakrat višje telo po tleh tudi dvakrat daljšo senco. Drugače rečeno: razmerje med višinama b in b0 dveh navpičnih teles je enako razmerju med dolžinama a in a0 njunih vodoravnih senc, v kar se prepričamo z merjenjem:

(8.1)

b

b0

=

a

a0

.

Če izmerimo dolžini gnomona in njegove sence, lahko iz izmerjene sence drevesa izračunamo njegovo višino, ne da bi jo bilo treba dejansko meriti z metrsko palico. Rečemo, da smo višino izmerili posredno.

[Tales] Slika 8.1.
Merjenje višine piramide iz dolžine njene sence. Razmerje višin piramide in palice je enako razmerju dolžin njunih senc. Tako je piramido izmeril Tales. (L. Hogben.)

Drevo, njegova senca in sončni žarki od vrha drevesa do vrha sence tvorijo pravokotni trikotnik. Isto velja za gnomon. Oba trikotnika sta si podobna, to je, imata enake kote. V podobnih pravokotnih trikotnikih so razmerja istoležnih stranic enaka. To je izrek o istoležnih stranicah.

Viziranje teles

Ni treba čakati na senco, da ustvarimo podobne trikotnike za meritev višine drevesa. Na primernem mestu zabodemo v tla gnomon, ležemo in poiščemo tisto lego očesa, da se vrh gnomona in vrh drevesa pokrijeta. Rečemo, da smo vrh vizirali. Vlogo obeh senc prevzameta sedaj vodoravni oddaljenosti očesa od drevesa in od gnomona.

Še bolj priročno je, če namesto gnomona uporabimo astrolab. Postavimo se na primerno mesto in z namerilno palico astrolaba naciljamo vrh drevesa. Pri tem palica na obodu astrolabovega kroga označi točko, ki ima glede na astrolabovo središče vodoravno razdaljo a0 in navpično razdaljo b0. Rečemo, da sta to njeni projekciji. Projekciji tvorita pravokotni trikotnik, ki je podoben opazovanemu. K izračunani višini drevesa je potrebno dodati še višino astrolaba nad tlemi.

[Vizirni trikotnik] Slika 8.2.
Astrolab kot vizirni trikotnik.

Namesto da po viziranju z astrolabom iz znane oddaljenosti drevesa izračunamo njegovo višino, lahko iz znane višine drevesa izračunamo njegovo oddaljenost. Tako tudi določimo, na primer, oddaljenost ladje na morju iz znane višine njenega jambora, ali oddaljenost ladje do pristanišča iz znane višine tamkajšnjega svetilnika.

Pravokotni trikotnik

Stranici a in b , ki v trikotniku oblikujeta pravi kot, imenujemo kateti. Povezuje ju tretja stranica c, hipotenuza, ki je od vseh najdaljša. Vsaka kateta oblikuje s hipotenuzo svoj ostri kot. Kot, ki leži nasproti stranici a, poimenujemo A, onega nasproti b pa B. Z dolžino katet sta oba ostra kota in dolžina hipotenuze enolično določeni.

Vsota kotov

Ko skozi oglišče B potegnemo vzporednico z nasproti ležečo stranico b, nastanejo tam trije koti, ki skupaj tvorijo iztegnjeni kot. Vidimo, da velja:

(8.2)

A + B = 90° .

Če torej poznamo en kot, lahko drugega izračunamo.

Dolžina hipotenuze

V kmetijskih državah je potrebno zakoličevati polja. To delajo uradni zemljemerci. Njihovo osnovno orodje je dolga vrv z vozli v metrskih razmikih. Pri merjenjih – kot zemljemerci – opazimo, da je iz vrvi narejen trikotnik, katerega stranice merijo 3, 4 in 5 vozlov, pravokoten. Razmišljajoč o tem odkrijemo presenetljivo povezavo 32 + 42 = 52. Mogoče velja takšna povezava za stranice v vsakem pravokotem trikotniku? Domnevamo torej

(8.3)

a2 + b2 = c2 .

Če je to res, lahko iz katerekoli dvojice stranic izračunamo tretjo. Domnevo preverimo z meritvami in jo res potrdimo. S tem postane eksperimentalni zakon. Vendar nas to ne zadovoljuje in iščemo pot, kako bi ta zakon izpeljali iz kakšnih bolj osnovnih resnic. To tudi uspemo.

[Pitagora] Slika 8.3.
Pravokotni trikotnik za izpeljavo hipotenuznega izreka. Izrek je bil večkrat neodvisno odkrit in dokazan. Pripisujemo ga tudi Pitagori.

Postopamo takole. Iz pravega kota potegnemo navpičnico na hipotenuzo. Nastanejo trije pravokotni trikotniki, ki so si med seboj podobni. Po izreku o istoležnih stranicah zato velja a/c = p/a in b/c = q/b. Iz prve enačbe izrazimo a2, iz druge b2 ter obe enačbi seštejemo, pri čemer upoštevamo še p + q = c. Dokazali smo hipotenuzni izrek.

Hipotenuzni izrek vsebuje produkte dolžin samih s seboj, na primer 3 m · 3 m. V takšnem produktu množimo številske vrednosti med seboj in enote med seboj, torej za navedeni primer 32 m2. Podobno naj velja za deljenje, potenciranje in korenjenje. Izraz √(25 m2), na primer, znaša 5 m.

Krog, lok in kot

Obseg kroga

Kotomerni krog z večjim polmerom ima večji obseg. Če si mislimo krog sestavljen iz ozkih enakokrakih trikotnikov z vrhovi v središču, se njegovo povečanje pokaže kot podaljšanje krakov teh trikotnikov. Enakokraki trikotnik je sestavljen iz dveh enakih pravokotnih trikotnikov. Vsak podaljšani pravokotni trikotnik je podoben prvotnemu, zato je razmerje njunih kratkih stranic enako razmerju njunih hipotenuz. Če so trikotniki dovolj ozki, je vsota kratkih stranic trikotnikov kar enaka obsegu kroga. Obseg kroga C je zato sorazmeren s polmerom r oziroma s premerom 2r:

(8.4)

C = 2πr .

Sorazmernostni koeficient π določimo z neraztegljivo vrvico, ki jo nekajkrat navijemo na okroglo cev znanega premera in ji nato izmerimo dolžino: π ≈ 3,1.

[Pi] Slika 8.4.
Računanje števila π. Čim več oglišč ima krogu včrtani mnogokotnik, tem bolj se njegov obseg približuje obsegu kroga. Z zaporednim razpolavljanjem stranic gradimo čedalje gostejše mnogokotnike. Postopek je iznašel in izvedel Arhimed.

Kaj pa, če bi v krog včrtali pravilni mnogokotnik in mu izračunali obseg? Čim več oglišč bi imel tak mnogokotnik, tem manj bi se njegov obseg razlikoval od krogovega. Razmerje med mnogokotnikovim obsegom in premerom pa bi bilo potem dober približek k številu π.

V krog polmera r = 1 včrtamo pravilni četverokotnik, torej kvadrat. Njegova stranica, določena s hipotenuznim izrekom, znaša d = √2, in obseg 4-krat toliko. Ta obseg seveda še ni dovolj blizu krogovemu. Nad kvadratom zato začrtamo dvakrat gostejši mnogokotnik, torej osemkotnik, in skušamo izračunati njegovo stranico d1 kot boljši približek proti obodu kroga. Ker q2 = 1 − (d/2)2, p = 1 − q in d12 = (d/2)2 + p2, velja d12 = 2 − 2√(1 − d2/4). Obseg je 8-krat tolikšen. Uspeli smo. Nova stranica je odvisna samo od prejšnje. Izračunamo jo in postopek ponovimo z novo stranico kot izhodiščem. To nekajkrat ponovimo in dobimo dovolj tesen približek h krogu ter s tem vrednost π = 3,14.

Redefinicija kota

Enačba za obseg kroga (8.4) omogoča, da kot redefiniramo preko razmerja med lokom l in polmerom krožnega izseka:

(8.5)

φ =

l

r

.

Tako definiran kot ima vrednosti med 0 in 2π. Pravi kot znaša π/2 in iztegnjeni kot je enak π. S tem postane dosedanja stopinja kar okrajšava za število ° = 2π/360 ≈ 0,0175. Kot ni več neodvisna količina, temveč postane izpeljana.

Lastnosti kroga

Ko se ukvarjamo z risanjem krogov in kotov, opazimo marsikakšno zanimivost. (i) Po obodu kroga nanašamo tetive, ki so enako dolge kot radij. Gre jih natanko šest. Tako krog razdelimo na šest enakih delov. (ii) Nad premerom kroga narišemo trikotnik z vrhom kjerkoli na krožnici. Vsak tak trikotnik je pravokoten. Tako rišemo prave kote. (iii) Nad tetivo narišemo trikotnik z vrhom v središču in drugega z vrhom na obodu. Središčni kot je dvakratnik obodnega. (iv) Skozi tri točke, ki ne ležijo na isti premici, gre natanko en krog: točke povežemo v trikotnik, narišemo simetrale stranic in njihovo presečišče je središče tega kroga. Vse naštete izreke – in še mnoge druge – so ljudje uspeli dokazati, to je, jih izpeljati iz drugih, "bolj osnovnih" resnic. Nam zadostuje, da so eksperimentalno opažena dejstva.

Kotna razmerja

Kotne projekcije

Ko z astrolabom merimo višino drevesa, moramo določiti obe oddaljenosti (projekciji) a in b točke na obodu astrolabovega kroga s polmerom r od vodoravne in navpične osi skozi središče tega kroga.

[Kotne projekcije] Slika 8.5.
Vizirni kot in pripadajoči pravokotni trikotnik. Razmerje med nasprotno stranico in hipotenuzo je je enolično odvisno od kota. Podobno velja za druga razmerja. Prvi jih je začel uvajati Hiparh.

Sinus, kosinus in tangens

To lahko naredimo vnaprej in enkrat za vselej za vsak kot φ. Najbolje je, da določimo razmerja b/r, a/r in b/a, saj so ta neodvisna od r. Simbolično zapišemo

(8.6)

b

r

= sin φ

a

r

= cos φ

b

a

= tan φ ,

s čimer definiramo sinus, kosinus in tangens kota. Sinus kota je torej razmerje med nasprotno stranico in hipotenuzo kateregakoli pravokotnega trikotnika, ki ga zgradimo nad tem kotom. Podobno velja za kosinus in tangens. Vsa tri razmerja poimenujemo s skupnim imenom kotna razmerja. Med seboj niso neodvisna, ampak so očitno povezana, upoštevajoč izreka (8.2) in (8.3):

(8.7)

sin φ = cos (90° − φ)
cos φ = sin (90° − φ)
(sin φ)2 + (cos φ)2 = 1
tan φ =

sin φ

cos φ

.

Določitev kotnih razmerij

Ker kotna razmerja niso odvisna od velikosti kroga, narišemo s šestilom poljubno velik krog na papir, za izbrane kote z ravnilom izmerimo projekcije ter sestavimo ustrezno tabelo. Dovolj je, da izmerimo tabelo za sinus; kosinus in tangens izračunamo iz ustreznih povezav (8.7).

—————————————————————————– ° sin cos tan —————————————————————————– 0 0 1 0 10 0,174 0,985 0,176 20 0,342 0,940 0,364 30 0,500 0,866 0,577 40 0,643 0,766 0,839 45 0,707 0,707 1 50 0,766 0,643 1,19 60 0,866 0,500 1,73 70 0,940 0,342 2,75 80 0,985 0,174 5,67 90 1 0 ∞ —————————————————————————–

Tabela 8.1. Kotna razmerja za izbrane kote. Prvo tabelo za sinuse je sestavil Hiparh.

Nekatere vrednosti kotnih razmerij lahko kar uganemo, na primer tiste za sinus kotov 0° in 90°: to sta 0 in 1. Pri kotih 30°, 45° in 60° imamo opravka z enakokrakimi in enakostraničnimi trikotniki, iz katerih razmerja stranic izračunamo; za sinus dobimo 1/2, √2/2 in √3/2.

Triangulacija

Širina reke

S poznavanjem kotnih razmerij zlahka merimo nedostopne razdalje, recimo širino reke. Na nasprotnem bregu poiščemo primerno drevo. Potem na našem bregu izberemo primerno opazovališče in v pravokotni smeri zakoličimo primerno dolgo osnovnico. Nato izmerimo kot, pod katerim vidimo drevo iz drugega krajišča osnovnice. Tangens tega kota pove, koliko je drevo oddaljeno.

[Širina reke] Slika 8.6.
Merjenje neprehodne razdalje preko reke. Razdalja je izračunljiva, če so poznani dolžina pravokotne merilne črte – osnovnice – in kot na njenem koncu. (Anon.)

Višina hriba

Podobno izmerimo tudi višino nedostopnega hriba. Na ravnini, proč od hriba, izberemo primerno dolgo vodoravno osnovnico d tako, da kaže natanko proti hribu. Iz vsakega krajišča osnovnice nato izmerimo kotno višino hriba. Potreben je še kratek račun in izvemo, koliko je hrib visok: h/d = tan θ1 tan θ2/ (tan θ2 − tan θ1). Tako z ladje na morju merimo višino vulkanskih otokov.

[Višina otoka] Slika 8.7.
Določanje višine nedostopnega hriba. Potrebna je meritev dolžine osnovnice in dve meritvi kotov, vsaka z enega konca. (Liu Hui.)

Zvonik na ozadju

Ko gledamo cerkveni zvonik P iz krajišč 1 in 2 pravokotne osnovnice, vidimo, da je njegova lega na hribovitem ozadju premaknjena. Iz krajišča 1 izmerimo med referentnim hribom X in zvonikom P1 vodoravni kot A'. Podobno iz krajišča 2 izmerimo med istim referentnim hribom in zvonikom P2 kot B'.

[Paralaksa] Slika 8.8.
Paralaksa telesa. Iz opazovalnih mest 1 v 2 vidimo opazovano telo P na oddaljenem ozadju v legah P1 in P2 glede na referentno telo X.

Če je ozadje mnogo bolj oddaljeno kot zvonik, velja AA' in B' ≈ B. Vsota A' + B' ≈ A + B = γ pa je kot, pod katerim iz zvonika vidimo osnovnico. Če je ta kot majhen, to je, če je dolžina osnovnice b mnogo krajša od oddaljenosti r do zvonika, velja

(8.8)

b

r

= γ .

Z meritvijo paralakse zvonika γ na oddaljenem ozadju je torej razdalja do zvonika enolično določena. Kadar osnovnica ni pravokotna na vizirno smer, pa moramo izmeriti njen odklon φ od te smeri ter kot dolžino upoštevati projekcijo b sin φ.

Splošni trikotnik

Pri viziranju teles, recimo ladje na morju, ni zmeraj mogoče izbrati osnovnice, ki bi bila pravokotna na vizirno smer. Tedaj je treba uporabiti splošni trikotnik.

Splošni trikotnik s stranicami a, b in c ter z njim nasproti ležečimi koti A, B in C je popolnoma določen, če poznamo: (i) vse tri stranice; (ii) dve stranici in kot, ki ga oklepata; ali (iii) eno stranico in oba priležna kota. Ugotoviti moramo, kako se iz poljubnih dveh podatkov izračuna tretjega.

Vsota kotov

Če skozi ogel B potegnemo vzporednico k nasproti ležeči stranici b, vidimo, da za nastale tri kote velja:

(8.9)

A + B + C = 180° .

To je izrek o vsoti kotov trikotnika. Če poznamo dva kota, je tretji z njima enolično določen.

Sinusni izrek

Po zgledu hipotenuznega izreka potegnimo pravokotnico h iz oglišča C na stranico c. Rečemo, da je to višina trikotnika nad ustrezno stranico. Prvotni trikotnik razpade na dva pravokotna trikotnika.

[Sinusni izrek] Slika 8.9.
Trikotnik za izpeljavo sinusnega in kosinusnega izreka. Oba izreka je od predhodnikov prevzel in dodelal Regiomontanus.

Velja sin A = h/b in sin B = h/a. Iz vsake enačbe izrazimo h, ju izenačimo in dobimo (ko postopek ponovimo še na drugih ogliščih):

(8.10)

sin A

a

=

sin B

b

=

sin C

c

.

To je sinusni izrek. Kadar je kakšen notranji kot, recimo A, večji od 90°, moramo namesto sinusa tega kota izračunati sinus "suplementarnega" kota, ki prvega dopolnjuje do 180°: namesto sin A torej pišemo sin (180° − A). Dokaz poteka enako.

Kosinusni izrek

V splošnem trikotniku velja h2 = a2q2 in h2 = b2p2. Izenačimo desni strani, malo poračunamo, upoštevamo p + q = c in p = b cos A ter dobimo:

(8.11)

a2 = b2 + c2 − 2bc cos A .

To je kosinusni izrek: iskana stranica je podana z drugima dvema stranicama in kotom med njima. Seveda velja to za vsako stranico. Kadar je treba računati kosinus kota, večjega od 90°, računamo kosinus suplementarnega kota in mešani člen prištejemo, ne odštejemo: namesto − 2bc cos A torej pišemo + 2bc cos (180° − A). Dokaz poteka enako.

Zemljemerstvo

Osnovni trikotnik

Oboroženi z navedenimi izreki določimo oddaljenost hriba takole. Izberemo in neposredno izmerimo primerno osnovnico na ravnini. Nato na vsakem koncu s kotomerom izmerimo vodoravni kot med njo in hribom. Uporabljamo poseben vizir v obliki navpične špranje. Iz obeh kotov izračunamo tretji kot (pod tem kotom iz hriba vidimo osnovnico) in s sinusnim izrekom še obe stranici. Z dodatnim merjenjem navpičnih kotov pa določimo še višino hriba.

Mreža trikotnikov

Iz iste osnovnice lahko seveda izmerimo dve ali več tarč, recimo gorskih vrhov v okolici. Ko sta dve tarči izmerjeni, postane njuna medsebojna razdalja nova osnovnica, iz katere lahko nadaljujemo merjenja. Tako razpredemo po okolici mrežo trikotnikov in jo premerimo. To je tudi način, kako države izdelujejo svoje zemljevide.

Ploščina

Pravokotnik

Kakor polagamo merske daljice vzdolž ravne ceste, tako lahko pravokotno polje v mislih tlakujemo z merskimi kvadrati, to je s pravokotniki, katerih vse stranice so enako velike. Izberemo kvadrate s tako dolgo stranico l, kakršno natančnost želimo, recimo 1 m. Če znaša dolžina polja a in in njegova širina b, ga tlakuje (a/l) · (b/l) kvadratov. Rečemo, da ima polje ploščino

(8.12)

S = ab .

S tem je definirana tudi enota za ploščino, kvadratni meter (m2). Če je ploskev majhna, merimo z manjšimi enotami, na primer s kvadratnimi decimetri (dm2). Ni nam treba tlakovati zares, ampak le izmerimo obe stranici ter njuni dolžini zmnožimo.

Pravokotni trikotnik

Po diagonali prerezan pravokotnik razpade na dva enaka pravokotna trikotnika. Ploščina takega trikotnika znaša zato polovico ploščine izvornega pravokotnika:

(8.13)

S =

1

2

ab .

Poševni trikotnik

Polje, ki je omejeno s samimi ravnimi črtami, lahko vedno razrežemo na trikotnike, ki pa v splošnem niso pravokotni, marveč poševni. Kakšna je ploščina poševnega trikotnika? Pravokotni trikotnik v mislih razrežemo v ozke pasove, vzporedne z bazo, nato pa jih strižno zamaknemo. Tako iz pravokotnega trikotnika nastane poševni, ploščina posamičnih trakov in s tem celotna ploščina trikotnika pa se ohrani:

(8.14)

S =

1

2

ah .

Krog, valj in stožec

Kadar je polje omejeno s krivo črto, ga je treba rezati na zelo drobne pravokotnike ali trikotnike, da dosežemo željeno natančnost. Krog, na primer, razrežemo na ozke enakokrake trikotnike z vrhom v središču in bazo na krožnici, jih zložimo v kvadrat s stranicama πr in r ter tako dobimo ploščino

(8.15)

S = πr2 .

Plašč valja razvijemo v ravnino. Dobimo pravokotnik s stranicama r in h ter s tem njegovo ploščino. Tudi plašč stožca lahko razvijemo v ravnino. Nastane izsek kroga z radijem l2 = r2 + h2 in kotom φ = 2πr / l. Njegova ploščina je torej φ/2π-ti del od πl2.

Krogla

Površine krogle ne moremo razviti v ravnino. Postopamo takole. Kroglo razrežemo na tanke vodoravne rezine z debelinami Δh. Vsaka rezina ima obliko prisekanega stožca s stranico Δl. Stožec pri elevacijskem kotu θ je na višini h = r sin θ nad ekvatorjem krogle ter ima polmer ρ = r cos θ. Njegova stranica je nagnjena za kot θ od navpičnice.

[Površina krogle] Slika 8.10.
Računanje površine krogle. Površina krogle je enaka ploščini plašča valja, ki kroglo oklepa. Izrek je iznašel in dokazal Arhimed.

Če je Δh majhen, je ploščina stožčastega obroča enaka ρ · Δl, torej r cos θ · Δh / cos θ oziroma rΔh. To pa ni nič drugega kakor ploščina obroča na plašču valja, ki kroglo oklepa! Vsak obroč na krogli je torej ploščinsko enak ustreznemu obroču na valju! To pomeni, da je ploščina krogle kar enaka ploščini valja s polmerom r in višino 2r, torej

(8.16)

S = 4πr2 .

Vidimo, da je površina krogle štirikrat tolikšna kot ploščina njenega preseka – kroga – skozi središče.

Prostornina

Kvader

Skladišče v obliki kvadra lahko v mislih zapolnimo s kockastimi zaboji. Če so stranice skladišča dolge a, b in h, definiramo njegovo prostornino kot

(8.17)

V = abh .

S tem je določena tudi njena enota, na primer kubični meter (m3). Manjše prostornine merimo z ustreznimi manjšimi enotami. Enoti 1 dm3 pravimo tudi liter, l.

Piramida

Visoka zgradba, ki jo je najlažje zgraditi, ima obliko obsekanega kvadra; to je kvadratna piramida. Risba pokaže, da njena prostornina znaša:

(8.18)

V =

1

3

abh .

Poševna piramida ima enako prostornino kot pokončna. Razmislek je prav tak kot pri ploščini poševnega in pravokotnega trikotnika.

Valj, stožec in krogla

Prostor, ki je omejen s krivimi ploskvami, razkosamo na zelo drobne kvadre ali piramide, da dosežemo željeno natančnost, ter seštejemo njihove prostornine. Valj razrežemo na kvadre, stožec na piramide in kroglo na piramide z vrhom v središču ter dobimo

(8.19)

V = πr2h
V =

1

3

πr2h
V =

r3

3

.

Če v valj, katerega višina je enaka premeru osnovne ploskve, včrtamo kroglo in stožec, je razmerje njihovih prostornin enako 1:2:3.

Menzura

Prostornino telesa določimo tudi tako, da ga potopimo v valjasto posodo z vodo, menzuro, in izmerimo, koliko se dvigne gladina. S tem je določena prostornina izpodrinjene vode, to je, prostornina vrinjenega telesa. Predpostavljamo, da se prostornina vode pri tem ne spreminja.

Velikost Zemlje

Poldnevniški lok

Kot, pod katerim v mislih iz središča Zemlje s polmerom R vidimo krožni lok l na poljubnem poldnevniku, je enak razliki zemljepisnih širin njegovih krajišč: l/R = Δλ. Lega severnega krajišča je poljubna. Južno krajišče izberemo s prenosno uro, ki kaže čas severnega krajišča: ko kaže ura poldan z dodano ali odvzeto anomalijo, mora Sonce kulminirati. V obeh krajiščih nato izmerimo zemljepisno širino. Lok določimo s triangulacijo na zaporednih trikotnikih med obema krajiščema. S tem sta določena polmer in obseg Zemlje v aktualnih metrih.

[Velikost Zemlje] Slika 8.11.
Merjenje velikosti Zemlje. Njen polmer je določen z dolžino loka med dvema geografskima širinama na istem poldnevniku. Prvi je Zemljo izmeril Eratosten. Za poldnevnik je uporabil kar reko Nil.

Redefinicija metra

Rezultat uporabimo za novo definicijo metra kot 1/106 dolžine zemeljskega kvadranta, to je četrtine obsega. S tem se znebimo dosedanje navezanosti na človeško velikost. Novi meter se od starih razlikuje za manj kot desetino in ga na novo utelesimo. Z njim premerjena Zemlja ima polmer 6,4 · 103 kilometrov. Za pomorščake je kot dolžinska enota bolj priročen poldnevniški lok, ki ustreza kotu 1 kotne minute; to je 1 morska milja (NM) in znaša 1,8 kilometra.

[Meter] Slika 8.12.
Meter – palica za merjenje dolžine. Prikazan je javni etalon, izdelan na podlagi meritev poldnevniškega loka, ki sta jih izvedla J. Delambre in P. Mechain. Etalon je vzidan v pročelje hiše v Parizu. (Anon.)

Morsko obzorje

Zaradi ukrivljenosti Zemlje ne vidimo oddaljenih ladij, ker so skrite pod obzorjem. Prav tako z ladij ne vidimo oddaljenih otokov. Višina h obzorne ravnine nad krogelno morsko gladino z radijem R narašča z oddaljenostjo l: h = l2/2R. Pri razdalji 100 km znaša že 0,8 km. Ladijski opazovalci zato sedijo v košari na jamboru, da vidijo dlje.

Z gorske višine h vidimo ukrivljeno morsko gladino za kot α pod vodoravnico. Ta kot – depresijo obzorja – zlahka izmerimo z astrolabom. Skica in račun pokažeta, da je z obema količinama takole določen polmer Zemlje: R/h = cos α/(1 − cos α). Z višine 0,8 km izmerimo kot 0,9° in dobimo za radij 6,4 · 103 km.

Do nebesnih teles

Razdalja do Meseca

Kakor merimo oddaljenost zvonika na hribovitem ozadju, tako poskušamo izmeriti oddaljenost Meseca na zvezdnem nebu. Dva opazovalca na istem poldnevniku, med seboj čimbolj oddaljena, opazujeta Mesec ob kulminaciji. Recimo, da istočasno kulminira tudi kakšna zvezda "pod" njim. Opazovalca izmerita navpični kot med to zvezdo in Mesecem. Razlika obeh kotov je kot, za katerega je Mesec premaknjen glede na zvezdno ozadje, torej njegova paralaksa. S paralakso γ in osnovnico b je oddaljenost r enolično določena. Osnovnico najpreprosteje določimo kar z risanjem.

Z nekaj truda lahko osnovnico tudi izračunamo: (i) Kot X določimo iz vsote notranjih kotov Δλ + 2X = 180°. (ii) Kot YA je podan preko suplementarnosti kotov X + YA + ZA = 180°. (iii) Osnovnico b določimo iz sinusnega izreka sin X/R = sin Δλ/b. (iv) Razdaljo IB izvemo iz sinusnega izreka sin γ/b = sin YA/IB. (v) Oddaljenost r pa je, končno, določena s kosinusnim izrekom r2 = IB2 + R2 + 2IBR cos ZB.

Meritve so uspešne tudi ob milejših pogojih: z dveh (bližnjih) poldnevnikov in glede na (ne preveč) kasnečo ali prehitevajočo referentno zvezdo. Tako dobimo pri osnovnici z redom velikosti Zemljinega polmera paralakso okrog ene kotne stopinje in ugotovimo, da je Mesec oddaljen od Zemlje za 60 njenih polmerov.

[Oddaljenost Meseca] Slika 8.13.
Merjenje oddaljenosti Meseca s paralakso. Prvi ga je izvedel Hiparh. Za ozadje je uporabil Sonce, ko ga je ob mrku delno zakril Mesec.

Oddaljenost in kotni premer Meseca povesta, kakšna je njegova velikost. Kotni premer izmerimo neposredno s kotomerom ali preko časa, ki ga potrebuje, da se skrije za navpični rob stavbe. Dobimo 0,5°. Mesec ima zato polmer 1,7 · 103 km, torej približno tretjino Zemljinega. Kotni premer se s časom ne spreminja zaznavno, kar pomeni, da se Mesec giblje okrog Zemlje vedno pri enaki oddaljenosti, torej po krogu.

Razdalja do Sonca

Ko Mesec spreminja svoje faze, je enkrat osvetljen natanko do polovice. Takrat tvorijo Zemlja, Sonce in Mesec pravokotni trikotnik s pravim kotom pri Mesecu. Če tedaj uspemo izmeriti kot med Soncem in Mesecem, lahko iz tega izračunamo kot, pod katerim opazovalec na Soncu vidi obe preostali telesi. Kosinus tega kota je enak razmerju oddaljenosti Meseca in Sonca od Zemlje.

[Oddaljenost Sonca] Slika 8.14.
Merjenje oddaljenosti Sonca. Prikazana je medsebojna lega Zemlje, Sonca in Meseca, kadar je ta osvetljen do polovice. Z merjenjem kota med Soncem in Mesecem je določena tudi razdalja do Sonca. Prvi je tako meril Aristarh.

Meritev potrebnega kota je nenatančna, ker je težko določiti, kdaj je Mesec osvetljen natanko do polovice; ker je ta kot le malo manjši od pravega; in ker majhna merilna napaka pri kotu povzroči veliko napako pri razdalji. Ocenimo, da je iskani kot večji od 87°. Iz tega sledi, da je Sonce od Zemlje oddaljeno najmanj 20-krat toliko kot Mesec.

Izmerimo še Sončev premer, podobno kot pri Mesecu. Zaradi varnosti gledamo skozi zakajeno stekleno šipo. Dobimo 0,5°, kar je slučajno enako kot pri Mesecu. To pomeni, da mora biti Sonce vsaj 5-krat večje od Zemlje. Morda je še mnogo večje in mnogo bolj oddaljeno!

Sončni sistem

Kako lahko okoli majhne Zemlje kroži tako veliko Sonce pri tako veliki oddaljenosti? Saj morajo biti razdalje, ki jih prepotuje v enem dnevu, gromozanske. Mar ni bolj verjetno, da se Zemlja vrti okrog svoje osi in je gibanje Sonca po nebu zgolj navidezno?

[Heliocentrični svet] Slika 8.15.
Heliocentrični sistem sveta. Sonce je v središču, okrog njega krožijo planeti. Sistem je od Aristarha prevzel in dodelal N. Kopernik. (N. Kopernik.)

Središče sveta

To nas vodi do nove, pravilnejše slike sveta kot sončnega sistema. V središču sveta je Sonce. Okrog njega krožijo planeti, vsi v približno isti ravnini, a pri različnih oddaljenostih. Rečemo, da zarisujejo svoje orbite. Bližnji planeti obkrožijo Sonce prej kot oddaljeni. Zemlja je tudi planet, tretji po vrsti. Sonce obkroži v enem letu. Pri tem se hkrati vrti okoli svoje osi; en zavrtljaj se kaže kot en dan. Os vrtenja ni pravokotna na ravnino kroženja, marveč nagnjena za 23,5°, in kaže vedno v isto smer med zvezde. S tem so pojasnjene deklinacije Sonca in letne dobe. Okrog Zemlje kroži Mesec. Ker je Zemljina orbita velikanska, bi morale zvezde na nebu kazati paralakso. Tega ne opazimo, zato morajo biti silno daleč. Morda so tudi one sonca? □

M. Divjak