Fazorji
| û = (u1, u2) = (u cos φ, u sin φ) |
| u = √(u12 + u22) = |û| |
| φ = atan | u2 u1 |
= Arg (û) |
| Re (û) = u1 |
| Im (û) = u2 |
Računska pravila
| cû = (cu1, cu2) |
| û + v̂ = (u1 + v1, u2 + v2) |
| û v̂ = uv (cos (α + β), sin (α + β)) |
| û / v̂ = (u / v) (cos (α − β), sin (α − β)) |
| ûv̂ = (u1v1 − u2v2, u1v2 + u2v1) |
| û / v̂ = (u1v1 + u2v2, u2v1 − u1v2) |
Imaginarna enota
| û = u1 · (1, 0) + u2 · (0,1) |
| û = u1 + iu2 |
| i = (0, 1) |
| i · i = i2 = −1 |
Konjugirani fazorji
| û* = u1 − iu2 |
| |û|2 = ûû* |
Potenca in eksponencial
| ûn = û · û … û |
| ûn = un (cos nφ +i sin nφ) |
| ûs = us (cos sφ + i sin sφ) |
| eiφ = cos φ + i sin φ |
| eû = eu1 + iu2 = eu1 eiu2 = eu1 (cos u2 + i sin u2) |
Kompleksne kotne funkcije
| cos φ = | eiφ + e−iφ 2 |
| sin φ = | eiφ − e−iφ 2i |
| cos û = | eiû + e−iû 2 |
| sin û = | eiû − e−iû 2i |
Kompleksne funkcije skalarja
| û(t) = u1(t) + iu2(t) |
Diferencial in integral
dû dt |
= | du1 dt |
+ i | du2 dt |
| ∫ û dt = ∫u1 dt + i ∫ u2 dt |
Harmonične vrste
| f(t) = a0 + | ∞ ∑ n=1 |
(ancos nωt + bnsin nωt) |
| a0 = | 1 T |
T ∫ 0 |
f(t) dt |
| an = | 2 T |
T ∫ 0 |
f(t) cos nωt dt, n = 1, 2, 3 … |
| bn = | 2 T |
T ∫ 0 |
f(t) sin nωt dt, n = 1, 2, 3 … |
1 T |
T ∫ 0 |
f(t)2 dt = a02 + | 1 2 |
∞ ∑ n = 1 |
(an2 + bn2) |
Kompleksne harmonične vrste
| f(t) = Re | ∞ ∑ n=−∞ |
Ân einωt |
| Ân = | 1 T |
T ∫ 0 |
f(t) e−inωt dt, n = 0, ± 1, ±2 … |
1 T |
T ∫ 0 |
f(t)2 dt = | ∞ ∑ n = −∞ |
|Ân|2 |
Harmonični integrali
| f(t) = Re | ∞ ∫ −∞ |
Â(ω) eiωt dω |
| Â(ω) = | 1 2π |
∞ ∫ −∞ |
f(t) e−iωt dt |
1 2π |
∞ ∫ −∞ |
f(t)2 dt = | ∞ ∫ −∞ |
|Â(ω)|2 dω |
Vektor premika
| r = (x, y, z) |
| r2 = x2 + y2 + z2 |
Zasuk koordinatnega sistema okoli osi z
| x' = +x cos φ + y sin φ |
| y' = −x sin φ + y cos φ |
| z' = z |
| x'2 + y'2 + z'2 = x2 + y2 + z2 |
Razteg in vsota
| λu = (λu1, λu2, λu3) |
| u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3) |
Enotni vektorji
| e1 = (1, 0, 0) |
| e2 = (0, 1, 0) |
| e3 = (0, 0, 1) |
| u = u1e1 + u2e2 + u3e3 = ∑ uiei |
Skalarni produkt
| u · v = uv cos φ |
| u · v = u1v1 + u2v2 + u3v3 |
| u · u = u12 + u22 + u32 = u2 |
Vektorski produkt
| u × v = uv sin φ · n |
| u × v = (u2v3 − u3v2, u3v1 − u1v3, u1v2 − u2v1) |
Sorazmernost vektorjev
| u1 = A11x1 + A12x2 + A13x3 |
| u2 = A21x1 + A22x2 + A23x3 |
| u3 = A31x1 + A32x2 + A33x3 |
| ui = ∑j Aijxj |
Sorazmernostna matrika
u1 u2 u3 |
= | A11 A21 A31 |
A12 A22 A32 |
A13 A23 A33 |
· | x1 x2 x3 |
| u = A · x |
Posebne matrike
| I = | 1 0 0 |
0 1 0 |
0 0 1 |
| D = | λ1 0 0 |
0 λ2 0 |
0 0 λ3 |
| R3 = | cos φ −sin φ 0 |
sin φ cos φ 0 |
0 0 1 |
Računske operacije
| λA = B ⟺ Bij = λAij |
| A + B = C ⟺ Cij = Aij + Bij |
| A · B = C ⟺ Cij = ∑k AikBkj |
Inverzna matrika
| A · x = u ⟺ x = A−1 · u |
| A−1 · A = I |
| [Iij]−1 = diag (1, 1, 1) |
| [Dij]−1 = diag (1/λ1, 1/λ2, 1/λ3) |
| [Rij]−1 = [Rji] |
Nje izračun
| [A | I] → [I | A−1] |
Vektorska funkcija skalarja
| u(t) = [u1(t), u2(t), u3(t)] |
Diferencial in integral
| u' = |
lim dt→0 |
u(t + dt) − u(t) dt |
| u' = (u1', u2', u3') |
| du = u' · dt |
| du = (du1, du2, du3) |
| u(t) = u(0) + | u'(0) 1! |
t + | u"(0) 2! |
t2 + … |
| u(t0 + h) = u(t0) + | u'(t0) 1! |
h + | u"(t0) 2! |
h2 + … |
| u = ∫ u' dt = (∫ u1' dt, ∫ u2' dt , ∫ u3' dt) |
Skalarna funkcija več spremenljivk
| u = u(x, y) |
Parcialni odvodi
| ux = |
lim dx→0 |
u(x + dx, y) − u(x, y) dx |
Totalni diferencial
| du = (du)x + (du)y = ux dx + uy dy |
(du)x dx |
= | ∂u ∂x |
= ux |
Verižna odvajanja
du dt |
= | ∂u ∂x |
dx dt |
+ | ∂u ∂y |
dy dt |
∂u ∂t |
= | ∂u ∂x |
∂x ∂t |
+ | ∂u ∂y |
∂y ∂t |
Implicitno odvajanje
| F(x,y,u) = 0 ⟹ Fx + Fu | ∂u ∂x |
= 0 |
Razvoj v potenčno vrsto
| u(x, y) = u(0, 0) + |
| xux + yuy + | 1 2 |
(x2uxx + 2xyuxy + y2uyy) + … |
| u(a+h,b+k) = u(a,b) + |
1 1! |
(h | ∂ ∂x |
+ k | ∂ ∂y |
)u + | 1 2! |
(h | ∂ ∂x |
+ k | ∂ ∂y |
)2u + … |
Ekstremi
| u = max ⟺ uxx < 0 in uxxuyy − uxy2 > 0 |
| u = min ⟺ uxx > 0 in uxxuyy − uxy2 > 0 |
Vezani ekstremi
| φ(x, y) = 0 |
| ux + λφx = 0 |
| uy + λφy = 0 |
Ploščinski integrali
| U = ∫ u dS |
| U = ∫∫ u dx dy = | d ∫ c |
dy | b ∫ a |
u dx = | b ∫ a |
dx | d ∫ c |
u dy |
| U = ∫∫ uρ dρ dφ |
Prostorninski integrali
| U = ∫ u dV. |
| U = ∫∫∫ u dx dy dz |
| U = ∫∫∫ u ρ dρ dφ dz |
| U = ∫∫∫ u r2 sin θ dr dφ dθ |
Razdalja med točkama
| s2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2 |
Premica
| y = kx |
| x = At |
| y = Bt |
Krožnica
| x2 + y2 = r2 |
| x = r cos t |
| y = r sin t |
Elipsa
x2 a2 |
+ | y2 b2 |
= 1 |
| x = a cos t |
| y = b sin t |
Hiperbola
x2 a2 |
− | y2 b2 |
= 1 |
| x = a / cos t |
| y = b tan t |
Parabola
| 2py = x2 |
| x = At |
| y = Bt2 |
Vektorski opis krivulje
| r(t) = (x(t), y(t)) |
dy dx |
= | y' x' |
d2y dx2 |
= | x'y" − y'x" x'3 |
Dolžina krivulje
| ds = |dr| = |r'| dt = √(x'2 + y'2) dt |
| s = ∫ √(x'2 + y'2) dt |
Tangenta
| τ = | dr ds |
| τ = | (x', y') √(x'2 + y'2) |
Ukrivljenost
| K = | | dτ ds |
| |
| K = | x'y" − y'x" (x'2 + y'2)3/2 |
| K = | 1 R |
Ravnina
| z = k1x + k2y |
Krogla
| x2 + y2 = r2 |
| x = R sin θ cos φ |
| y = R sin θ sin φ |
| z = R cos θ |
Vektorski opis ploskve
| r(u, v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) |
Dolžina krivulje na ploskvi
| ds2 = ru2du2 + 2rurvdudv + rv2dv2 = |
| g11du2 + 2g12dudv + g22dv2 |
| g11 = xu2 + yu2 + zu2 |
| g12 = xuxv + yuyv + zuzv |
| g22 = xv2 + yv2 + zv2 |
| s = ∫ √(g11u'2 + 2g12u'v' + g22v'2)dt |
Ploščina ploskve
| dS = dus dvs sin α = √(g11g22 − g122)dudv |
| S = ∫ √(g11g22 − g122) dudv |
| S = ∫ √(1 + zx2 + zy2) dxdy |
Normala
| n = | ru × rv |ru × rv | |
= | ru × rv √(g11g22 − g122) |
| n = | (−zx, −zy, 1) √(1 + zx2 + zy2) |
Lok na krogli
| cos α = cos θ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2 cos (φ2 − φ1) |
Hipotenuzni izrek
| cos d = cos a cos h |
Kosinusni izrek
| cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A |
Sinusni izrek
sin A sin a |
= | sin B sin b |
= | sin C sin c |
Skalarno in vektorsko polje
| U = U(x, y, z) |
| v = (vx(x, y, z), vy(x, y, z), vz(x, y, z)) |
Gradient polja
| grad U = n · | dU ds |
| grad U = ( | ∂U ∂x |
, | ∂U ∂y |
, | ∂U ∂z |
) = ( | ∂ ∂x |
, | ∂ ∂y |
, | ∂ ∂z |
)U = ∇U |
| dU = ∇U · dr = (dr · ∇)U |
| U2 − U1 = ∫ ∇U ds |
Pretok in divergenca
| Φ = ∫ v · n dS |
| ∫ v · n dS = ∫ vx dy dz + ∫ vy dz dx + ∫ vz dx dy |
| div v = |
lim V →0 |
1 V |
∮ v · n dS |
| div v = | ∂vx ∂x |
+ | ∂vy ∂y |
+ | ∂vz ∂z |
= ∇ · v |
| ∮ v · n dS = ∫ ∇ · v dV |
Cirkulacija in rotor
| Γ = ∮ v ds |
| ∮ v ds = ∮ vx dx + ∮ vy dy + ∮ vz dz |
| rot v = n · |
lim S →0 |
1 S |
∮ v ds |
| rot v= ( | ∂vz ∂y |
− | ∂vy ∂z |
, | ∂vx ∂z |
− | ∂vz ∂x |
, | ∂vy ∂x |
− | ∂vx ∂y |
) = ∇ × v |
| ∮ v ds = ∫ (∇ × v) · n dS |
Operacije drugega reda
| ∇ · (∇U) = ∇2U = | ∂2U ∂x2 |
+ | ∂2U ∂y2 |
+ | ∂2U ∂z2 |
| ∇ × (∇U) = 0 |
| ∇ · (∇ × v) = 0 |
| ∇ × (∇ × v) = ∇(∇ · v) − ∇2v |
Število permutacij
| Pn = n! |
Število variacij
| Vnr = | n! (n − r)! |
Število kombinacij
| Cnr = | n! r! (n − r)! |
Verjetnost izidov
| Pk = |
lim N → ∞ |
Nk N |
| ∑ Pk = 1 |
Gostota verjetnosti
dP dx |
= |
lim N → ∞ |
dN(x ± dx/2) N |
= p(x) |
| ∫ dP = ∫ p(x) dx = 1 |
Verjetnost izida A ali B
| P(A ∪ B) = P(A) + P(B) |
Verjetnost izida A in B
| P(A ∩ B) = P(A) · P(B) |
Binomska porazdelitev
| P(n) = | N! n!(N − n)! |
pn (1 − p)N − n = BN,p(n) |
Normalna porazdelitev
dP dx |
= | 1 σ√2π |
· e−(x − μ)2/2σ2 = Gμ,σ(x) |
Prehod na novo spremenljivko
dP dz |
= | dP dx |
dx dz |
Povprečje
| ⟨x⟩ = ∫ x p(x) dx |
Varianca
| σx2 = ∫ (x − ⟨x⟩)2 p(x) dx |
| σx2 = ∫ x2 p(x) dx − (∫ x p(x) dx)2 = ⟨x2⟩ − ⟨x⟩2 |
Porazdelitev po več spremenljivkah
d2P dx dy |
= |
lim N → ∞ |
dN(x ± dx/2, y ± dy/2) N |
= p(x, y) |
Kumulativna verjetnost
dP dx |
= ∫ p(x, y) dy = u(x) |
Neodvisni spremenljivki
| p(x, y) = u(x) v(y) |
Povprečje in varianca
| ⟨x⟩ = ∫ x p(x, y) dx dy |
| σx2 = ∫ (x − ⟨x⟩)2 p(x, y) dx dy |
Kovarianca
| σxy = ∫ (x − ⟨x⟩)(y − ⟨y⟩) p(x,y) dx dy |
Korelacijski koeficient
| r = | σxy σxσy |
Povprečje povprečij
| ⟨x̄⟩ = ⟨x⟩ |
Varianca povprečij
| σx̄2 = | σx2 N |
Ocena natančnosti meritev
| ⟨x⟩ ≈ x̄ ± | sx √N |
Širjenje napak
| u = cx ⟹ du = |c| dx |
| u = x ± y ⟹ du = dx + dy |
| u = xy ⟹ | du |u| |
= | dx |x| |
+ | dy |y| |
| u = | x y |
⟹ | du |u| |
= | dx |x| |
+ | dy |y| |
| u = xn ⟹ | du |u| |
= |n| | dx |x| |
| u = u(x) ⟹ du = |u'| dx |
| u = u(x, y) ⟹ du2 = (ux dx)2 + (uy dy)2 |
Lega
| r = (x, y, z) |
Premik
| dr = ds = (dx, dy, dz) |
Hitrost
| v = | ds dt |
= (vx, vy, vz) |
Pospešek
| a = | dv dt |
= (ax, ay, az) |
Kotni zasuk
| dφ = er × | ds r |
Kotna hitrost
| ω = | dφ dt |
Kotni pospešek
| α = | dω dt |
Dolžinske in kotne povezave
| v = ω × r |
| at = α × r |
| ar = −ω2r |
| a2 = at2 + ar2 |
Gibalni zakon za delec
| F = m | dv dt |
= m | d2r dt2 |
Izrek o kinetični energiji
| ∫ F · ds = | mv22 2 |
− | mv12 2 |
Gibalni zakon za sistem delcev
| F = m | d2r* dt2 |
Lega težišča
| r* = | 1 m |
∑ mi ri |
Hitrost težišča
| v* = | dr* dt |
Gibalna količina sistema
| G = ∑ mi vi = mv* |
Izrek o gibalni količini
| ∫ F dt = ΔG |
Sila curka
| F = Φmv |
Raketna enačba
| v − v0 = u ln | m0 m |
Vrtilna količina
| L = ∑ ri × mivi |
Izrek o vrtilni količini
| ∫ M dt = Δ L |
| L = r* × mv* + L* |
Kinetična energija
| K = ∑ | 1 2 |
mivi2 |
Izrek o kinetični energiji
| Aext + Aint = ΔK |
| K = | 1 2 |
mv*2 + K* |
Vrtenje togega sistema
| L = Jω |
| J = ∑ mi ri2 |
| M = | dJω dt |
= J | dω dt |
| K = | 1 2 |
J ω2 |
| J = J* + mr*2 |
| L = L* + mr*2ω |
| K = K* + | 1 2 |
mr*2ω2 |
Težno nihanje telesa
| ω02 = | mgl ml2 + J* |
Sučno nihanje telesa
| ω02 = | D J* |
Prosto nihanje
| u" + ω02 u = 0 |
| u = c1 cos ω0t + c2 sin ω0t |
Vzbujeno nihanje
| u" + ω02 u = A cos (ωt + δ) |
| u = u0 cos (ωt + δ) |
| u0 = | A √(ω02 − ω2) |
Vzbujeno nihanje z dušenjem
| u" + γu' + ω0u = A cos (ωt + δ) |
| u = u0 cos (ωt + δ + θ) |
| u0 = | A √[(ω2 − ω02)2 + γ2 ω2] |
| tan θ = | −γω ω02 − ω2 |
Dušeno nihanje
| u" + γu' + ω02u = 0 |
| u = u0 e−γt/2 cos (ωt + δ) |
| ω = √(ω02 − γ2), γ < ω0 |
Gravitacijsko polje
| Fg = mg |
Polje okrog masne točke
| gP = −κ | mQ rPQ2 |
nPQ, κ = 6,7 · 10−11 Nm2/kg2 |
Superpozicija polj
| gP = − |
∑ Q |
κ | mQ rPQ2 |
nPQ |
Gravitacijska energija
| W − W0 = − ∫ mg · ds |
Gravitacijski potencial
| ϕ − ϕ0 = − ∫ g · ds |
Potencial masne točke
| ϕP = − κ | mQ rQP |
Superpozicija potencialov
| ϕP = − |
∑ Q |
κ | mQ rQP |
Gibanje planeta
| L = mr2φ' |
| E = | m 2 |
(r'2 + r2φ'2) − | α r |
| r = | p 1 + ε cos φ |
| p = | L2 mα |
| ε2 = 1 + | 2EL2 mα2 |
T2 a3 |
= | 4π2 κM |
Stalnost svetl. hitrosti
| c' = c |
Relativistični faktor
| γ = | 1 √(1 − u2/c2) |
Transformacija koordinat
| t' = γ(t − ux / c2) |
| x' = γ(x − ut) |
| y' = y |
| z' = z |
Transformacija intervalov
| Δ t = tB − tA |
| Δ x = xB − xA |
| Δt' = γ(Δt − uΔx/c2) |
| Δx' = γ(Δx − uΔt) |
Podaljšanje časa
| Δt = γΔt0 |
Skrajšanje dolžin
| Δl = Δl0 / γ |
Transformacija hitrosti
| v = | xB − xA tB − tA |
| vx' = | vx − u 1 − vxu / c2 |
| vy' = | 1 γ |
vy 1 − vxu/c2 |
| vz' = | 1 γ |
vz 1 − vxu/c2 |
Frekvenčni zamik svetlobe
ν' ν |
= | √(1 − u/c) √(1 + u/c) |
Sprememba valovne dolžine
λ' λ |
= | √(1 + u/c) √(1 − u/c) |
Približek za majhne hitrosti
Δλ λ |
= | u c |
Gibalna količina
| G = mγ(v)v |
Gibalni zakon
dG dt |
= F |
Polna energija
| E = γ(v) mc2 |
Kinetična in masna energija
| E = K + mc2 |
| K = (γ(v) − 1)mc2 |
Energijska invarianta
| E2 − (cG)2 = (mc2)2 |
Transformacija G in E
| Gx' = γ(Gx − uE/c2) |
| E' = γ(E − uGx) |
| ΔGx' = γ(ΔGx − uΔE/c2) |
| ΔE' = γ(ΔE − uΔGx) |
Gibalna količina svetlobe
| G = | E c |
Gostota gibalne količine
| g = | G V |
| g = | j c2 |
Svetlobni tlak
| p = gc |
| p = (1 + R) gc |
Številska gostota molekul
| n = | N V |
Plinski zakon
| p = nkT, k = | R* NA |
Kinetični model tlaka
| p = | 1 3 |
nm1⟨v2⟩ |
Kinetični model temperature
| ⟨ | 1 2 |
m1v2⟩ = | 3 2 |
kT |
Porazdelitev molekul po višini
dP dz |
= Ae−m1gz / kT, A = | m1g kT |
Porazdelitev molekul po hitrosti
dP dvx |
= A e−m1vx2/2kT |
dP dv |
= A3 4π v2e−m1v2 / 2kT, A = ( | m1 2πkT |
)1/2 |
Porazdelitev molekul po energiji
| Pi = | 1 Z |
e−Ei/kT, Z = ∑ e−Ei/kT |
| dP = | 1 Z |
e−E/kT dE, Z = ∫ e−E/kTdE |
Porazdelitev po faznem prostoru
| dP = | 1 Z |
e−E(r,v)/kT d3rd3v, Z = ∫ e−E(r,v)/kT d3rd3v |
Notranja energija plina
| U = N | f 2 |
kT |
Toplotna kapaciteta plina
| CV = | U T |
= N | f 2 |
k |
Specifične toplote plina
| cV = | CV Nm1 |
= | f 2 |
k m1 |
= | f 2 |
R* M |
| cp = cV + | R* M |
= ( | f 2 |
+ 1) | R* M |
| κ = | cp cV |
= 1 + | 2 f |
Kristalna snov
| U = 3NkT |
| cV = 3 | R* M |
Izhlapevanje tekočine
| nv = | 1 V0 |
e−W / kT |
Ionizacija plina
neni na |
= | 1 V0 |
e−W / kT |
Prosta pot molekul
| ⟨l⟩ = | 1 π(2r)2n |
Difuzivnost
| jm = −D | dρ dx |
, D = | 1 3 |
⟨v⟩⟨l⟩ |
Toplotna prevodnost
| jQ = −λ | dT dx |
, λ = | 1 6 |
⟨v⟩⟨l⟩nfk |
Viskoznost
| η = | 1 3 |
⟨v⟩⟨l⟩nm1 |
Transportni koeficienti
| η = ρD = λ/cV |
Difuzijska enačba
∂ρ ∂t |
= D | ∂2ρ ∂x2 |
Difuzija tanke plasti
| ρ(x,t) = | 1 σx√(2π) |
exp | −x2 2σx2 |
, σx2 = 2Dt |
Difuzijska enačba toplote
∂T ∂t |
= D* | ∂2T ∂x2 |
, D* = | λ cpρ |
Pijančeva hoja
| ⟨r2⟩ = 6Dt |
Prisilna hitrost
| vdrift = | ⟨τ⟩ m1 |
F = μF |
Difuzivnost in gibljivost
| D = μkT |
Difuzija kroglic v tekočini
| D = | kT 6πηr |
Električna sila in polje
| Fe = eE |
Polje točkastega naboja
| EP = κe | eQ rQP2 |
nQP |
Superpozicija polj
| EP = κe |
∑ Q |
eQ rQP2 |
nQP |
| EP = κe ∫ | ρQ dVQ rQP2 |
nQP |
Pretok in divergenca polja
| ∮ E · dS = 4π κee = | e ε0 |
| ∇ · E = | ρ ε0 |
Cirkulacija in rotor polja
| ∮ E · ds = 0 |
| ∇ × E = 0 |
Električni potencial
| E = −∇U |
| UB − UA = − | B ∫ A |
E · ds |
Potencial točkastega naboja
| UP = | 1 4πε0 |
eQ rQP |
Superpozicija potencialov
| UP = | 1 4πε0 |
∑ Q |
eQ rQP |
| UP = | 1 4πε0 |
∫ | ρQ dVQ rQP |
Potencialna enačba
| ∇2U = − | ρ ε0 |
Električni dipol
| pe = ed |
| U = | 1 4πε0 |
pe · er r2 |
Navor na dipol
| M = pe × E |
Sila na dipol
| F = (pe · ∇)E |
Energija dipola
| W = −pe · E |
Polarizacija snovi
| P = | dpe dV |
= ned |
Električna susceptibilnost
| P = χe ε0 E |
| ε = 1 + χe |
Magnetna sila in polje
| Fm = Il × B |
Polje tokov
| BP = κm ∮ | I dsQ × nQP r2QP |
| BP = κm ∮ | jQ × nQP rQP2 |
dVQ |
Pretok in divergenca polja
| ∮ B · dS = 0 |
| ∇ · B = 0 |
Cirkulacija in rotor polja
| ∮ B · ds = 4πκmI = μ0I |
| ∇ × B = μ0j |
Magnetni potencial
| B = ∇ × A |
Potencialna enačba
| ∇2 A = −μ0j |
Potencial tokov
| AP = | μ0 4π |
∫ | jQ dVQ rQP |
Magnetni dipol
| pm = IS |
| A = | μ0 4π |
pm × er r2 |
Navor na dipol
| M = pm × B |
Sila na dipol
| F = ∇ (pm · B) = (pm · ∇)B |
Energija dipola
| W = −pm · B |
Magnetizacija snovi
| M = | dpm dV |
= nIS |
Magnetna susceptibilnost
| M = | χm μ0 |
B |
1 μ |
= 1 − χm |
Relativnost gostote nabojev in tokov
| ρ' = γ(ρ − ujx/c2) |
| j'x = γ(jx − uρ) |
| j'y = jy |
| j'z = jz |
Relativnost polj
| E'y = γ(Ey − uBz) |
| B'z = γ(Bz − uEy/c2) |
| E'z = γ(Ez + uBy) |
| B'y = γ(By + uEz/c2) |
| E'x = Ex |
| B'x = Bx |
Osnovne enačbe polja
| ∇ · E = | ρ ε0 |
| ∇ · B = 0 |
| ∇ × E = − | ∂B ∂t |
| ∇ × B = μ0j + μ0ε0 | ∂E ∂t |
Polje brez nabojev in tokov
| ∇2E − ε0μ0 | ∂2E ∂t2 |
= 0 |
| ∇2B − ε0μ0 | ∂2B ∂t2 |
= 0 |
| c2 = | 1 ε0μ0 |
Ravno valovanje
| E = E0 ei(k · r − ωt) |
| B = B0 ei(k · r − ωt) |
| E = cB × n |
Stojno valovanje
| E = E0(r) e−iωt |
| ∇2 E0 = −k2E0 |
| k2 = ω2/c2 |
Energija valovanja
∂w ∂t |
= −∇ · J − j · E |
| w = | ε0 2 |
E2 + | 1 2μ0 |
B2 |
| J = | 1 μ0 |
E × B |
Energija v ravnem valovanju
| ⟨w⟩ = | ε0 2 |
E02 = | 1 2μ0 |
B02 |
| ⟨J⟩ = c⟨w⟩ |
Razklopitev osnovnih enačb
| B = ∇ × A |
| E = −∇U − | ∂A ∂t |
| ∇2A − | 1 c2 |
∂2A ∂t2 |
= −μ0j |
| ∇2U − | 1 c2 |
∂2U ∂t2 |
= − | ρ ε0 |
Njihova rešitev
| UP(t) = | 1 4πε0 |
∫ | ρQ(t−rQP / c) dVQ rQP |
| AP(t) = | μ0 4π |
∫ | jQ(t−rQP / c) dVQ rQP |
Dipolno sevanje
| ⟨P⟩ = | p02ω4 12πε0c3 |
| ⟨I⟩ = | 3 2 |
⟨P⟩ 4π |
sin2 θ |
Osnovne enačbe v snovi
| ∇ · εE = | ρfree ε0 |
| ∇ · B = 0 |
| ∇ × E = − | ∂B ∂t |
| ∇ × | B μ |
= μ0jfree + | 1 c2 |
∂εE ∂t |
Mejni pogoji
| B⊥ (1) = B⊥ (2) |
| ε1E⊥ (1) = ε2E⊥ (2) |
| E∥ (1) = E∥ (2) |
| B∥ (1)/μ1 = B∥ (2)/μ2 |
Valovanje v dielektriku
| v = | c √εμ |
| n = √εμ |
Odbojni količnik
| R⊥ = | | n1 cos α − n2 cos α2) n1 cos α + n2 cos α2 |
|2 |
| R∥ = | | n2 cos α − n1 cos α2) n2 cos α + n1 cos α2 |
|2 |
| R = | | n1 − n2 n1 + n2 |
|2 |
Uklon za odprtino
| uP ∝ ∫ exp (iks) dS |
Mrežica tankih rež
| j(α) = j0 [ | sin (1/2Nka sin α) N sin (1/2ka sin α) |
]2 |
Široka reža
| j(α) = j0[ | sin (ka sin α) ka sin α |
]2 |
Sila na elektron
| F = e(E + v × B) |
Hitrost pospešenega elektrona
1 2 |
mv2 = eUA |
Odklon v električnem polju
| θ = | eEl mv2 |
Odklon v magnetnem polju
| ϕ = | eBs mv |
Brez odklona v prekrižanih poljih
| v = | E B |
Relativistični elektroni
| θ = | eEl γmv2 |
| ϕ = | eBs γmv |
Nepolarna molekula
| pe = αε0E |
Plin nepolarnih molekul
M ρ |
(ε − 1) = NAα |
Polarna molekula
| ⟨pe⟩ = | p02 3kT |
E |
Plin polarnih molekul
M ρ |
(ε − 1) = NA(α + | p02/ε0 3kT |
) |
Nemagnetna molekula
| pm = βB/μ0 |
Plin nemagnetnih molekul
M ρ |
(μ − 1) = NAβ |
Magnetna molekula
| ⟨pm⟩ = | p02 3kT |
B |
Plin magnetnih molekul
M ρ |
(μ − 1) = NA (β + | p02μ0 3kT |
) |
Elektroni v prevodniku
| vdrift = | eEτ m |
| j = nevdrift = σE |
| σ = | ne2τ m |
Prečna napetost
| U = | 1 ne |
IB d |
Elektronski oscilatorji
| n − 1 = | e2/m 2ε0(ω02 − ω2) |
N V |
| n − 1 = | N V |
∑ fk | e2/m 2ε0(ωk2 − ω2) |
Fotoelektrični pojav
| K = hν − W, h = 6,63 · 10−34 Js |
Energija fotona
| E = hν |
Gibalna količina fotona
| G = | E c |
= | hν c |
= | h λ |
Valovna dolžina elektrona
| λ = | h G |
= | h mv |
Sipanje alfa na atomskih jedrih
| b = | 1 2 |
( | Z1Z2q2 mv2/2 |
) cot | θ 2 |
dI/I0 dΩ |
= | 1 16 |
N V |
( | Z1Z2q2 mv2/2 |
)2 | l sin4 θ/2 |
Energijski nivoji atomov
| hν = E2 − E1 |
Kvantizacija krožnic
| 2πrn = nλ, n = 1, 2, 3 … |
Kvantizacija vrtilne količine
| L = mvr = nħ, n = 1, 2, 3 … |
| ħ = h/2π |
Krožnice v atomu vodika
| r = | ħ2 mq2 |
· n2 = rB · n2, n = 1, 2, 3 … |
Obodna hitrost v atomu vodika
| α = | v c |
= | q2 ħc |
= 1/137 |
Energijski nivoji v atomu vodika
| E = − | mq4 2ħ2 |
1 n2 |
= ER · | 1 n2 |
Krožnice ali elipse v atomu vodika
| E = − | q2 2r |
= − | q2 2a |
Velike polosi v atomu vodika
| a = rB · n2 |
Male polosi v atomu vodika
| b = | l n |
a |
Vrtilne količine elips v atomu vodika
| L = lħ, l = 1, 2, 3 … n |
Slojevita zgradba atomov
| rn = rB | n2 Z−S |
| En = ER | (Z − S)2 n2 |
Notranji elektroni
| ν = | 3 4 |
Ry (Z − 1)2 |
Orbitalni magnetni moment
| μ = | e 2m |
L |
| μ = | e 2m |
ħl = μBl, l = 1, 2, 3 … n |
Njegova precesija
| Ω = | e 2m |
B |
Njegova smerna kvantizacija
| Lz = mlħ |
| μz = mlμB |
| ml = −l, −l + 1 … −1, 0, 1 … l − 1, l |
Spin in spinski magnetni moment
| L = sħ, s = 1/2 |
| Lz = ms ħ, ms = −s, +s |
| μz = 2 · | e 2m |
Lz = ±ħ |
Celotni magnetni moment
| L = jħ |
| μ = jμB |
| Lz = mjħ |
| μz = mjμB |
| mj = −j, −j + 1 … j − 1, j |
Valovna funkcija delca
| Ψ(r,t) |
Verjetnost lege
dP dV |
= |Ψ|2 |
| ∫ |Ψ|2 dV = 1 |
Ravni val
| Ψ(x, t) = Aei(kx − ωt) = Aei(Gx − Et) / ħ |
Valovni paket
| Ψ(x) = | 1 √(2π) |
∫ A(k)eikx dk |
Njegov spekter
| A(k) = | 1 √(2π) |
∫ Ψ(x)e−ikx dx |
dP dk |
= |A|2 |
| ∫ |A|2 dk = 1 |
Razmazanost paketa
| Δx2 = ⟨(x − ⟨x⟩)2⟩ = ⟨x2⟩ − ⟨x⟩2 |
| ΔG2 = ⟨(G − ⟨G⟩)2⟩ = ⟨G2⟩ − ⟨G⟩2, |
| Δx ΔG ≥ | ħ 2 |
Kvantni gibalni zakon
| iħ | ∂Ψ ∂t |
= − | ħ2 2m |
∇2Ψ + W(r)Ψ |
Tok verjetnosti
∂ρ ∂t |
+ ∇ · j = 0 |
| j = | ħ 2mi |
(Ψ*∇Ψ − Ψ∇ Ψ*) |
Stacionarna stanja
| Ψ(r,t) = ψ(r) e−iωt |
Kvantna amplitudna enačba
| − | ħ2 2m |
∇2ψ + [W(r) − E]ψ = 0 |
Čisto stanje
| Ψ(x,t) = ψn(x) e−iEnt / ħ |
Mešano stanje
| Ψ(x,t) = ∑ cnψn(x) e−iEnt / ħ |
| ∫ ψm*ψn dV = 1, če n = m, sicer 0 |
| ∑ |cn|2 = 1 |
| P(En) = |cn|2 |
Vpad na stopnico
| R = | k1 − k2 k1 + k2 |
| T = | 2k1 k1 + k2 |
Delec v potencialni jami
| En = | ħ2 2m |
( | nπ D |
)2, n = 1, 2, 3 … |
| ψn ∝ sin | nπ D |
x |
Harmonični oscilator
| W = | 1 2 |
kx2 = | 1 2 |
mω2x2 |
| En = ħω(n + | 1 2 |
), n = 0, 1, 2, 3 … |
| ψn ∝ Hn( | x a |
) exp (− | x2 2a2 |
), a2 = | ħ mω |
| ψ0 ∝ exp (− | x2 2a2 |
) |
Vodikov atom
| W = − | q2 r |
| En = | −mq4 2ħ2 |
1 n2 |
| ψnlm(r,θ,φ) ∝ Rnl(r) Plm(cos θ) Φm(φ) |
| ψ100 ∝ exp (− | r rB |
) |
| n = 1, 2, 3 … |
| l = 0, 1, 2 … n − 1 |
| m = 0, ±1, ±2 … ±l |
Vrtilna količina
| −iħ(r × ∇)ψ = Lψ |
| L2 = l(l + 1)ħ2, l = 0, 1, 2, 3, … |
Projekcija vrtilne količine
| −iħ | ∂ψ ∂φ |
= Lzψ |
| Lz = mħ, m = 0, ±1, ±2, … ±l |
Večelektronski atom
| ψ(x1,y1,z1,x2,y2,z2) = ψ(1,2) |
| dV = dx1dy1dz1dx2dy2dz2 |
dP dV |
= |ψ|2 |
| −[ | ħ2 2m |
∇12 + | ħ2 2m |
∇22] ψ + W(1,2)ψ = Eψ |
Neodvisni elektroni
| W(1,2) = W(1) + W(2) |
| ψ(1,2) = u(1)v(2) |
| − | ħ2 2m |
∇12 u + W(1)u = E1u |
| − | ħ2 2m |
∇22 v + W(2)v = E2v |
| E = E1 + E2 |
Rotacija molekule
| E = | ħ2 2J |
l(l + 1), l = 0, 1, 2, 3 … |
Nihanje dvoatomne molekule
| E = ħω0(n + | 1 2 |
) |
Porazdelitev molekul po energiji
| Pi = | 1 Z |
gi e−Ei / kT |
| Z = ∑ gi e−Ei/kT |
Nihanje dvoatomnih molekul
| Pn = | 1 Z |
exp (− | ħω0 kT |
n) |
| Z = | 1 1 − exp (−ħω0/kT) |
| ⟨E⟩ = | ħω0 exp (ħω0/kT) − 1 |
= ħω0 ⟨n⟩ |
Vrtenje dvoatomnih molekul
| Pl = | 1 Z |
(2l + 1) exp − | (ħ2/2J) l(l+1) kT |
| Z ≈ | 2J ħ2 |
kT |
Nihanje atomov v kristalu
| U = 3NkT | ħω / kT eħω / kT − 1 |
| cV = 3 | k m1 |
( | θ T |
)2 | eθ / T (eθ / T − 1)2 |
| θ = | ħω k |
Fermionska porazdelitev
| fi = | Ni gi |
= | 1 e(Ei − EF)/kT + 1 |
dn dE |
= | g(E) exp (E − EF)/kT + 1 |
= g(E) f(E) |
Elektronski plin v kovini
| g = | 4π(2m)3/2 h3 |
· √E |
| EF = | h2 2m |
( | 3n 8π |
)2/3 |
| W = | 3 5 |
N EF |
| p = | 2 3 |
W V |
= | 2 5 |
NEF V |
1 2 |
mvF2 = EF |
Pogoj za nedegenerirano plazmo
h √(3mkT) |
≪ | 1 n1/3 |
Pogoja za nerelativistično plazmo
| T ≪ | mc2 k |
| n ≪ | √8 3π2 |
( | mc ħ |
)3 |
Bozonska porazdelitev
| fi = | Ni gi |
= | 1 e(Ei − EF)/kT − 1 |
dN dE |
= | g(E) exp (E /kT) − 1 |
= g(E) f(E) |
Fotoni v votlini
| g(E) = | 8πV (hc)3 |
E2 |
dw dE |
= | 8π (hc)3 |
E3 eE / kT − 1 |
dw dν |
= | 2hν3 c2 |
1 ehν / kT − 1 |
dw dλ |
= | 2hc2 λ5 |
1 ehc / λkT − 1 |
| p = | 1 3 |
W V |
| p = a T4 |
| a = | 8π5k4 15c3h3 |
Toplotno sevanje
dB dλ |
= | 2hc3 λ5 |
1 ehc / λkT − 1 |
dj* dλ |
= π | dB dλ |
| j* = σT4 |
| σ = | 2π5k4 15c2h3 |
| a = | 4σ 3c |
| λmax = | b T |
| b = | hc 4.97k |
Centralni trk delca 1 v mirujoč delec 2
v2' v1 |
= | 2m1 m1 + m2 |
Trk delca 1 z jedrom 2
m2 m1 |
= | sin θ1 sin (θ1 + θ2) |
Transmutacija dušika
| 2α4 + 7N14 → 8O17 + 1p1 |
Odkritje nevtrona
| 2α4 + 4Be9 → 6C12 + 0n1 |
| mn = 1,009 u |
Vezavna energija jedra
| Ebind = [Zmp + (A − Z)mn − m]c2 |
Vezavna energija nukleona
| B = | Ebind A |
Razpad alfa
| ZXA → Z−2YA−4 + 2α4 |
Razpad beta
| ZXA → Z+1YA + e− + ν |
Razpad gama
| ZXA → ZXA + γ |
Preostala jedra
| N = N0 e−λt |
Razpadni čas
| τ = | 1 λ |
Razpolovni čas
| T1/2 = τ ln 2 |
Aktivnost vira
| A = − | dN dt |
= A0e−λt |
Ravnovesje v verigi razpadov
NA TA |
= | NB TB |
= | NC TC |
Absorpcijski radij jedra za nevtrone
| r = r0 A1/3, r0 = 1,2 fm |
Cepitev težkih jeder
| n + U235 → X + Y + ∼2,5 n |
Zlivanje lahkih jeder
| H2 + H3 → He4 + n1 |
Zvezde na glavni veji
| P ∝ TE8 |
| R ∝ TE2 |
| P ∝ M4 |
| TE ∝ M1/2 |
| R ∝ M |
| ⟨ρ⟩ ∝ | 1 M2 |
Masa sredice oblaka
| Mr = | r ∫ 0 |
ρ 4πr2dr |
Gravitacijska energija oblaka
| EG = − ∫ | κ Mr r |
dm ∼ − | κM2 R |
Toplotna energija oblaka
| ET = | 3 2 |
M m̄ |
kT |
Sesedna masa oblaka
| MJ = | 3kT 2κm̄ |
R |
Hidrostatično ravnovesje
dp dr |
= − | κMrρ r2 |
Tlak v središču
| pc ∼ | κM2 R4 |
Notranja temperatura zvezde
| Tc ∝ | M R |
Masni in fotonski tlak
prad pgas |
∝ M2 |
Vezavna energija zvezde
| Ebind = −(ET + EG) |
Za masni plin
| ET = − | EG 2 |
| Ebind = ET |
Za fotonski plin
| ET = −EG |
| Ebind = 0 |
Zlivanje protonov v helij
| 4p → He4 + 2e+ + 2ν |
| 1H + 1H → 2H + e+ + ν + 0.4 MeV |
| 1H + 2H → 3He + γ + 5.5 MeV |
| 3He + 3He → 4He + 2(1H) + 12.9 MeV |
Življenjski čas
| t ∝ | 1 M3 |
Proizvodnja energije
dP dr |
= ερ4πr2 |
Difuzijski prenos
dT dr |
= | P 4πr2λ |
Konvektivni prenos
dT dr |
= | γ − 1 γ |
T p |
dp dr |
Radij bele pritlikavke
| R ∝ | 1 M1/3 |
Sesedna masa bele pritlikavke
| M ∼ ( | N M |
)2( | h̄c κ |
)3/2 |
Nihanje svetilnosti kefeid
| M = −a lg (P/dan) − b |
| a = 2.4 |
| b = 1.7 |
Beg galaksij
| v = H0r |
Trajanje od velikega poka
| t0 ∼ | 1 H0 |
Skalirni faktor vesolja
| r = a(t)R |
Skalirna enačba
| ( | a' a |
)2 = | 8πκ 3 |
ρ − | kc2 a2 |
| H = | a' a |
Gostotna enačba
| ρ' + 3 | a' a |
(ρ + | p c2 |
) = 0 |
Raztegovanje svetlobe
| λ ∝ a |
Ravno masno dominirano vesolje
| a(t) = ( | t t0 |
)2/3 |
| ρ(t) = | ρ0 a3 |
Ravno sevalno dominirano vesolje
| a(t) = ( | t t0 |
)1/2 |
| ρ(t) = | ρ0 a4 |
Kritična gostota vesolja
| ρc = | 3H2 8πκ |
Ohlajanje prasevanja
| T ∝ | 1 a |