Starodavne naloge
Povzeto iz knjige V. Domajnko: Z nalogami v zgodovino matematike,
DZS, Ljubljana, 1993. Izbral in uredil M. Divjak.
Egipčanski pi
Od premera kroga odštej njegov deveti del in zatem kvadriraj
ostanek. To je ploščina kroga (Rhindov papirus). Kakšen
približek za pi so torej uporabljali stari Egipcani?
Proso za riž
Za 50 meric prosa dobiš na trgu 30 meric riža. Koliko riža
dobiš za 10 meric prosa?
Koliko je teh reči
Ne veš, koliko je teh reči, ne.
Tri in tri jih zbiraš v kupe, pa dve ostaneta.
Pet in pet jih zbiraš, pa spet tri ostanejo.
Nazadnje jih zbiraš še sedem in sedem, pa ostaneta dve.
Povej sedaj, koliko teh je reči.
Mangi v košarici
Iz košarice mangov je kralj izbral zase šestino sadežev,
kraljica pa petino vseh preostalih. Nato so trije majhni princi
vzeli zapored vsak po eno četrtino, eno tretjino in eno polovico
vseh mangov, ki so še ostali za vsakega od njih. Četrti,
najmlajši princ, je na koncu vzel is košarice preostale tri
sadeže.
O ti, ki si izvrsten v računanju z ulomki, povej mi brž, koliko
je bilo na začetku vseh mangov v tej košarici in koliko jih je
dobil vsak od šestih v kraljevi družini.
Cena popra
Neki trgovec je na Portugalskem kupil 50000 funtov popra. Zanj je
plačal 10000 skudov, nato pa še 500 skudov takse. Tovor je
zatem za 300 skudov prepeljal v Italijo, tam pa so mu v
pristanišču spet zaračunali 200 skudov dajatev. Prevoz iz
pristanišča do Firenc ga je stal novih 100 skudov, zatem pa je
moral v mestu plačati še 100 skudov davka. Imel je še prav
posebno smolo, kajti prav tedaj so mestni oblastniki od vsakega
trgovca pobirali po 1000 skudov posebne takse, tako da je moral
plačati se to.
Po vseh teh dogodkih mu seveda ni preostalo nič drugega, kakor
da se pošteno zamisli nad vprašanjem, ki ga je mučilo že vso
pot: Kolikšna naj bo cena popra, da bo imel na funt popra še
zmeraj desetinko skuda dobička?
Trije pašniki
Trije pašniki so pokriti z enako gosto travo. Prvi meri 3 1/3
hektarja, drugi 10 hektarjev, tretji pa 24 hektarjev. Prvi
pašnik popase 12 krav v 4 tednih, drugega pa v 9 tednih popase
21 krav. Koliko krav se lahko pase 18 tednov na tretjem
pašniku? Upoštevaj pri tem tudi rast trave med pašo.
Heronova krona
Krona kralja Heroda, narejena iz zlata in srebra, tehta 10
kilogramov. Če jo potopiš v vodo, tehta le še 9355/10000 svoje
teže na zraku. Znano je, da kilogram zlata izgubi v vodi 4/77
kilograma svoje teže, kilogrma srebra pa 2/21 svoje teže.
Izračunaj, koliko zlata in koliko srebra je vkoval mojster v
Heronovo krono.
Štiri cevi v bazen
Voda priteka v bazen po štirih ceveh. Voda iz prve cevi ga
napolni natanko v enem dnevu. Druga cev napolni bazen sama v dveh
dneh, tretja v treh, četrta pa v štirih. V kolikem času bo
bazen poln, če ga polnijo vse štiri cevi hkrati?
Trs sredi ribnika
Na sredini okroglega ribnika s premerom 10 čevljev raste z dna
vodni trs in moli svoj vršiček za 1 čevelj visoko nad gladino
vode v ribniku. Če potegnemo vršiček trsa k vodni gladini, se
potopi natanko takrat, ko doseže rob ribnika. Kako globok je
ribnik?
Zlomljeni bambus
Zlomilo se je 10 čevljev visoko bambusovo drevo, tako da se
njegov vrh dotika tal 3 čevlje daleč od stebla. Na kateri
višini se je prelomilo steblo?
Pogrebci in krožniki
Neka žena je pomivala posodo ob bregu reke. K njej je pristopil
rečni paznik in jo vprašal, zakaj mora pomiti tolikšno
število krožnikov. Odvrnila mu je, da ji je pred dnevi umrl
mož in da se je po pogrebu zbralo pri mizi veliko pogrebcev. Ko
jo je paznik zatem radovedno vprašal še za število pogrebcev,
mu je žena odgovorila s tole uganko:
"Riž sta z istega krožnika zmeraj jedla po dva skupaj, kruh so z
istega krožnika zmeraj jemali po trije skupaj, zelenjavo pa z
istega krožnika zmeraj po štirje skupaj. In kakor vidiš,
pomivam 65 krožnikov."
Koliko pogrebcev je bilo torej zbranih pri jedi?
Trije sodi masla, vode in medu
V prvem sodu je 23 pal masla, v drugem 60 pal vode, v tretjem pa
24 pal medu. Vsi tije sodi so do vrha polni. Čez nekaj časa jih
bodo izpraznili, vsebine zmešali in zatem sode s to zmesjo znova
napolnili. Povej, koliko bo masla, vode in medu v vsakem izmed
sodov.
Razdelitev dediščine
V družini je umrla žena in zapustila moža, sina in tri hčere.
Ti so sklenili razdeliti premoženje. Zakon pravi, da dobi v
takšnem primeru mož četrtino zapuščine, sin pa dvakrat
toliko kot hči. Izračunaj deleže skupnega premoženja, ki
pripadajo vsakemu od petih dedičev v tej družini.
Pes lovi zajca
Pes lovi zajca in ta ima 150 čevljev prednosti. Vsakič, ko
skoči zajec 7 čevljev daleč, skoči pes 9 čevljev. Po koliko
skokih bo pes ujel zajca?
Trije kurirji
Prvi kurir naredi na dan po 300 milj, drugi po 250, tretji pa po
200. Ko v uradu dobijo pismo, tretjemu kurirju naročijo, naj ga
odda v nekem oddaljenem kraju. Tri dni zatem dobijo v uradu še
eno pismo in zdaj na pot pošljejo drugega kurirja. Dohitel naj
bi svojega predhodnika in mu izročil novo pismo. Čez dva dni pa
dobijo v uradu še tretje pismo. Brž napotijo za drugim kurirjem
še prvega, najhitrejšega. Tudi ta naj bi na poti dohitel
svojega predhodnika in mu izročil novo pismo.
Zgodilo pa se je, da nobeden izmed pozneje napotenih kurirjev ni
ujel svojega predhodnika. Vsi trije so se hkrati srečali šele v
kraju, v katerega so bila namenjena pisma. Koliko milj je ta kraj
oddaljen od izhodiščnega mesta kurirjev?
Ribnik z ribami
Neki ribič je želel izvedeti, koliko je v njegovem ribniku rib,
ki so že dovolj velike za ulov. Zato je v ribnik vrgel primerno
gosto pleteno mrežo. Ko jo je izvlekel, je v njej naštel 30
rib. Vsako je označil s posebno barvo, nato pa vse vrgel nazaj v
ribnik.
Naslednjega dne je spet vrgel mrežo. Tokrat se je vanjo ujelo 40
rib, med njimi pa sta bili tudi dve, ki ju je prejšnjega dne
označil z barvo.
Kako naj ribič zdaj določi vsaj približno število za ulov
primernih rib v svojem ribniku?
Limone in dišeče palice
Devet limon in sedem dišečih paličic stane 107 kovancev, sedem
limon in devet dišečih paličic pa le 101 kovanec. O,
aritmetik, povej mi brž ceni za limone in paličice dišeče!
Kdo je bolj bogat
Nekdo je rekel: "Daj mi 100 zlatnikov, prijatelj, pa bom postal
dvakrat tako bogat kakor ti."
Drugi mu odgovori: "Če mi daš ti le 10 zlatnikov, postanem
šestkrat bogatejši od tebe!"
Povej, koliko zlatnikov ima vsak pri sebi.
Dva trgovca in smaragd
Dva trgovca sta se odpravila skupaj na trg. Na poti sta srečala
nekega človeka, ki je prodajal smaragd. Žlahtni kamen ju je
takoj zamikal, vendar je človek zahteval zanj kar 1000
zlatnikov. Nekoliko osupla sta trgovca pogledala vsak v svoj
mošnjiček, preštela denar in kmalu potrta ugotovila, da ga
nobeden nima dovolj za smaragd. Tedaj prvi predlaga drugemu:
"Poslušaj, daj mi tretjino tvojega denarja, dragi moj, pa bom
lahko kupil ta smaragd." Drugi pa mu odvrne: "Ne, daj raje ti
meni sedmino tvojega denarja. Tedaj bi ga lahko kupil jaz."
Koliko denarja ima vsak v svojem mošnjičku?
Centi in berači
Če dam vsakemu beraču pred mojimi vrati po 7 centov, mi jih še
zmeraj ostane 24. Če pa bi želel vsakemu dati po 9 centov, bi
mi jih zmanjkalo 32. Koliko beračev je torej pred mojimi vrati
in koliko centov imam v svojem mošnjičku?
Petelinčki, kokoške in piščeta
En petelinček je vreden 5 čienov, ena kokoška 3 čiene in tri
piščeta le 1 čien. Za 100 čienov smo dobili na trgu vsega
skupaj sto pernatih. Koliko je bilo med njimi petelinčkov,
koliko kokošk in koliko piščet?
Rubini, safirji in biseri
Prvi mož ima 5 rubinov, 8 safirjev, 7 biserov in 90 kovancev,
drugi mož ima pa 7 rubinov, 9 safirjev, 6 biserov in 62
kovancev. Oba moža sta enako bogata. Kakšne so cene posameznih
vrst draguljev, če se izražajo s celimi števili kovancev?
Palica ob zidu
Ob zidu stoji pokončno postavljena palica. Če jo na spodnjem
koncu odmakneš od zida za 9, zdrsne njen zgornji konec ob zidu
za 3 navzdol. Kako dolga je palica?
Čer v morju
Z obrežja opazuješ zelo visoko čer, štrlečo iz morja. Pri
tem ne poznaš niti njene višine niti njene oddaljenosti od
brega. Zato vzameš 30 čevljev dolgo palico in jo zabodeš
navpično v zemljo. Če se odmakneš za 123 korakov vstran od
palice in približaš obraz k zemlji, vidiš vrh palice in vrh
čeri v isti črti s svojim očesom. Zatem greš po palico in jo
odneseš 1000 korakov daleč nazaj. Če se zdaj odmakneš še za
127 korakov stran od palice in znova obraz priblizaš k zemlji,
vrh palice in vrh čeri spet vidiš v isti črti z očesom.
Kako visoko nad morsko gladino je vrh morske čeri in kako daleč
je ta čer od kraja, kjer si prvič zapičil palico v zemljo?
Debelina snega
Zid je visok 12 čevljev. Deblo, prislonjeno obenj, je pri tleh
za 5 čevljev odmaknjeno od zida, vrh debla pa je poravnan z
vrhom zida. Na deblu je za 4 palce snega, merjeno pravokotno na
deblo. Seveda pa je ta plast snega na deblu tanjša od tiste na
zemlji. Ugotovi debelino snežne plasti na zemlji.
Devet dreves v deset vrst
Posadi devet dreves tako, da bodo urejena v natanko deset ravnih
črt s po tremi drevesi v vsaki vrsti.
Križanje vrvi med koloma
Deček je napel vrv od vrha vsakega od dveh kolov, zabodenih v
zemljo, do nožišča drugega kola. Zatem je vprašal svojega
očeta: "Poglej, oče, kola sta visoka po 7 in 5 čevljev. Na
kateri višini, merjeno od tal, se križata vrvici?"
Dva prijatelja gresta na pot
Prijatelja stojita drug zraven drugega. V nekem trenutku se eden
odpravi proti jugu, drugi pa proti vzhodu. Razmerje njunih
hitrosti je 7 : 3, prvi pa je hitrejši od drugega. Ko prvi
prehodi 100 sežnjev, se nenadoma obrne in nadaljuje pot
približno v smeri proti severovzhodu. Čez nekaj časa se oba
prijatelja znova srečata. Kako dolgo pot je opravil vsak izmed
njiju?
Polje v obliki vesla
Trije bratje so lastniki velikega polja v obliki vesla. Krajša
stranica na severu meri 34 korakov, daljša stranica na jugu pa
52 korakov. Obe sta pravokotni na stranico, ki meri kar 150
korakov. Bratje bi polje radi razdelili z ravnimi črtami v
smeri vzhod-zahod na tri ploščinsko enake dele. Ker pa je
račun zapleten in ga sami ne zmorejo, so poiskali pomoč pri
krajevnem uradniku. Povej, kako naj uradnik bratom razdeli
njihovo polje.
Ob robu požeto polje
Neki kmet je bil lastnik žitnega polja v obliki kvadrata. Ko je
žito dozorelo, se je dogovoril s svojim sinom, da bo vsak od
njiju dobil pridelek polovice polja. Prihodnji dan je kmet požel
polje ob vseh štirih robovih v širini 3 sežnjev, sinu pa
prepustil nepožeti manjši kvadrat na sredini polja. Koliko meri
polje?
Mestno obzidje
Mesto obkroža obzidje, ne poznamo pa ne njegovega obsega ne
njegovega premera. Obzidje ima četvero vrat. Zunaj mesta, 3
milje daleč proti severu, raste visoko drevo. Če zapustimo
mesto pri južnih vratih in se odpravimo naravnost proti vzhodu,
moramo 9 milj daleč, da izza obzidja zagledamo to drevo.
Izračunaj obseg in premer trdnjave.
Čedalje hitrejša tkalka
Tkalka zaradi svoje spretnosti natke vsak dan dvakrat več platna
kakor prejšnjega dne. Tako je v petih dneh natkala 5 čevljev
dolg kos platna. Po koliko blaga je torej natkala vsak dan?
Naraščajoča miloščina
Ko je mož zagledal pred seboj berača, se ga je usmilil in mu
takoj dal 2 školjki. Hkrati mu je tudi obljubil, da mu bo
podporo vsakega naslednjega dne podvojil. Koliko nisk (1 niska
= 16 dram = 16^2 pan = 16^3 kacinov = 4^7 školjk) mu je tedaj
izplačal v enem mesecu?
Razmnoževanje zajcev
Koliko parov zajcev dobimo od enega para novorojenih zajcev po
enem letu, če privzamemo, da vsak par vsak mesec skoti po en nov
par, ki postane ploden od drugega meseca starosti naprej, in da
med zajci ni smrtnih primerov?
Tatovi jabolk
Ko so šli mimo vrta, je prvi v njem ukradel 1 jabolko, drugi si
je vzel 2, tretji kar 3 … in tako naprej – vsak naslednji je
ukradel eno jabolko več. Kasneje so stresli vsa nabrana jabolka
na kup in si jih razdelili na enake deleže. Tako je dobil vsak
po 6 jabolk. Koliko je bilo teh nepridipravov?
Konjski žeblji
Torej, kaj praviš o tem? Podaril bi ti konja, seveda, z vsemi 4
podkvami in z vsemi 6 žeblji na vsaki, a le pod pogojem, da mi
plačas za prvi žebelj 1 belič, za drugi žebelj 2 beliča, za
tretji žebelj 4 beliče … in tako naprej do konca – za vsak
naslednji žebelj mi moraš dati po dvakrat več. Vprašujem te
torej, kaj misliš, koliko te bo stal ta konj?
Devet ali deset pik
Vržes tri igralne kocke. Kaj je verjetneje – da bo padlo
skupaj 9 ali 10 pik?
Raznobarvne karte
V kupu je 40 med seboj dobro premešanih igralnih kart, med njimi
jih je po 10 enake barve. Iz kupa na slepo izberemo 4 karte.
Kolikšna je verjetnost, da bodo izbrane karte paroma različnih
barv?
Tri žare
V prvi žari je n belih kroglic, v drugi je n črnih kroglic, v
tretj pa n rdečih kroglic. Iz prve žare preneseš eno kroglico
v drugo žaro. Zatem v drugi žari na slepo izbereš kroglico in
jo daš v tretjo žaro, nato pa še v tej na slepo izbereš
kroglico in jo preneš v prvo žaro. Končno tudi iz prve žare
na slepo potegneš kroglico. Izračunaj verjetnost treh možnih
dogodkov: da bo ta kroglica bele, črne ali rdeče barve.
Tri zaporedne številke
Denimo, da je n enako velikih lističev zapored označenih s
števili od 1 do n in da med njimi na slepo izberemo 3 lističe.
Kolikšna je verjetnost, da bomo dobili lističe s tremi
zaporednimi števili?